フーリエ変換について

質問

至急、回答（解き方）をお願いします。

図に示す問について
（１）～（３）
の答えがそれぞれ
（１）
H(ω)=(1/(ω^2+1))-(2/(ω^2+4))-j(ω/(ω^2+1))+j(ω/(ω^2+4))

（２）
He(ω)=(1/(ω^2+1))-(2/(ω^2+4))

（３）
Ho(ω)=-j(ω/(ω^2+1))+j(ω/(ω^2+4))

となり、

（４）でH(ω)の実数部をR(ω)、虚数部をX(ω)とするとき、
実数
R(ω)=He(ω)
虚数
jX(ω)=Ho(ω)
が成立するのを基に

（５）のパーセバルの等式を用いて図の（５）の式が成立するのを証明してもらえませんか？

いまいち、パーセバルの等式をどういうふうに使えば良いかわからないです・・・
それから、he(t)とho(t)、それぞれどのような式になるかも良く分からないです・・・
そこのところも踏まえて回答してくだされば助かります。

少し見づらいかもしれませんが、丁寧に回答してくだされば幸いです。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

∫_{-∞}^∞h_e(t)^2dt

=(1/4)∫_{-∞}^∞{h(t)^2+2h(t)h(-t)+h^2(-t)^2}dt

=(1/2)∫_0^∞h(t)^2dt+(1/2)∫_{-∞}^∞h(t)h(-t)dt

∫_{-∞}^∞h_o(t)^2dt

=(1/4)∫_{-∞}^∞{h(t)^2-2h(t)h(-t)+h^2(-t)^2}dt

=(1/2)∫_0^∞h(t)^2dt-(1/2)∫_{-∞}^∞h(t)h(-t)dt

ここでh(t)=0(t≦0)より

h(t)h(-t)=0

であるから

∫_{-∞}^∞h_e(t)^2dt=∫_{-∞}^∞h_o(t)^2dt(=(1/2)∫_0^∞h(t)^2dt)

Parsevalの等式より両辺それぞれは次のように置き換わる．

∫_{-∞}^∞|H_e(ω)|^2dω/(2π)=∫_{-∞}^∞|H_o(t)|^2dω/(2π)

すなわち

∫_{-∞}^∞R(ω)^2dω=∫_{-∞}^∞X(ω)^2dω

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。
おかげで助かりました。

回答No.3

noname#171951

#1です。
＞素直に代入しても全然等しくならないの
＞ですが・・・

なんだかやたら高飛車な補足をもらいまし
たが、どういう計算をしたら等しくならなかっ
たのですか？

ｈ(-t)の処理を間違えてません？

回答No.1

noname#171951

(1)～(4)はただ計算すればいいので説明不要ですよね？

パーセバルの等式というのは、L^2ノルムがフーリエ変換
によって不変であるというもので、
∫[-∞→∞]f(x)^2dx=∫[-∞→∞]{(f^)(ξ)}^2dξ
のことです。

ここでf^はfのフーリエ変換です。
フーリへ変換の定義によっては係数が異なるので注意
してください。。

この問題の場合、上式のfにそれぞれh_eとh_oを当ては
めればいいです。

h_eとh_oのそれぞれの2乗の積分は互いに等しいことが
すぐわかるので、目的の式が得られます。

補足

h_eとh_oのそれぞれの2乗の積分は互いに等しいことが
すぐわかるとはどういうことですか？

具体的にそれぞれ式で表してください。
h_e=
h_o=

何ですか？

素直に代入しても全然等しくならないのですが・・・