円筒を積み上げた高さ

質問

紙管を箱詰めして輸出しようと思います。
運賃は体積計算なので、箱詰め時の正確な体積が必要です。
仮に直径10cm、長さ100cmの紙管を底面積100×100cmの箱の底に10本隙間無く並べ、その上に、下の紙管の合わせ目に入るように9本、次は10本、また9本と順に10段積み上げると、合計で95本の紙管を入れることができるのですが、10段積み上げた時の高さが分かりません。
おそらく簡単な数式だと思うのですが、どなたか教えてください。
10段以外にも、x段の時の数式を教えていただけますと助かります。

回答No.4

PAP · ベストアンサー

一番下の隣り合った２本の紙管と、その合わせ目に入っている１本の紙管を考えます。
この３本の互いに接している紙管の中心点の距離はどれも１０cmです。従って、この３本の中心点からできる三角形は、一辺１０cmの正三角形になります。正三角形の高さはピタゴラスの定理から
正三角形の高さ＝（一辺の長さＸルート３）÷２
となります。直角三角形の３辺の比が１：２：ルート３と習ったあれです。
従って、今回の場合は一辺が１０cmですから、ルート３を１．７３とすると高さは８．６５cmとなります。
さらに、今回の場合、正三角形の一辺の長さは紙管の直径と等しいわけですから、これを半分にしたものは半径です。結局
正三角形の高さ＝半径Ｘルート３
とまとめられます。

この３本の紙管の高さを考えます。
中心点で考えたときの高さは８．６５cmでした。
下の紙管の中心点から一番下までは半径分の５cmあります。
上の紙管の中心点から一番上までも半径分の５cmあります。
よって、全体の高さは１８．６５cmです。
この３本の紙管は２段積みですから、ここから段数が増えると正三角形の高さ分づつ全体の高さも増えていきます。

【結論】　ｎ段の場合の高さ
（半径ｘルート３）ｘ（ｎ－１）＋直径
・ｘ段だとかけるのｘとごっちゃになるのでｎ段としました。

今回は直径１０cmが１０段で、ルート３を１．７３とすると
高さ＝８７．８５cm
となります。

なお、この計算は直径が同じ紙管をつんだ場合であることを念のため付け加えておきます。

お礼

大変わかりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.5

siotan88

ANo.1 です。

次のように訂正します。
[正]　Ｈ（10段目）＝ ８×１０√３÷２＋５＋５　　単 位：cm

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

gosuke32

断面図を書いて、考えると分かりやすいですよ。
○○○・・・
○○○○・・・
　　：
●○○・・・
●●○○・・・
黒丸のところで考えると、中心を結ぶと正三角形が出来ますよね。その1辺の長さは、半径10cmの円が接しているので・・・
2段だとその正三角形の高さと下段の円の中心から底までの長さ、上段の円の中心から天井までの長さを足せば高さが算出できます。
3段だと正三角形が1つ増えます。4段だと2つ・・・
10段、x段も分かりますね。

回答No.2

funifuni11

円筒の底面方向から見てみると、
円がたくさん詰まっている状態ですよね。
隣り合う円の中心を全てつなぐと、
正三角形がたくさんできます。

つまり、1段あたりの高さはおおよそこの正三角形の
高さと同じになるわけです。
あとは一番下と一番上の段の半径分を足してやればよいです。

一辺10cmの正三角形の高さは5√3≒8.66cmですから、
n段積み重ねた時には、
8.66×(n-1)+10 cmの高さが必要になります。
10段の時には、約88cmの高さが必要ということになりますね。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.1

siotan88

計算しようとしたら、次の式が成り立ちます。
Ｈ（10段目）＝ ９×１０√３÷２＋５　　単 位：cm
実際に数字を入れて計算してみてください。

　確実なのは、箱（床）の角に紙管を並べて１０段まで重ねて見ることです。計算値より多少箱の高さを見た方がよいでしょう。