ポアソン比

質問

素人の質問ですがポアソン比について教えてください。
ポアソン比が仮に0.5とした時
縦の歪が100％であれば横の歪は50％だと思うのですが
実際、高さ1cm直径1cmの円柱を考えた時
上記歪の割合が正しければ高さ2cmの時直径0.5cmとなり
体積が半分になってしまいポアソン比が0.5の時、体積変化が無いということに反してしまうと思うのですが
どうしてこのようなことになるのでしょうか？

分かりにくい質問かもしれませんがよろしくお願いいたします。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

ポアソン比νは、真歪に対して定義されている概念です。
あなたは、公称歪で話をされているので成り立たないのです。

もし、１軸の応力によって、高さが10mm→20mmになるような変形が発生すると、その時の応力方向の公称歪εnは100%ですが、これに対する真歪εaは、今のような１軸応力が発生している場合には、
εa＝ln(1+εn)＝ln2＝0.693
となります。
この時に発生する横歪εatは、
εat＝-ν×εa＝-0.5×0.693＝-0.347
となります。
真歪を使えば、
0.693-2×0.347＝0
となって、体積変化がないことが確認できます。（というか、定義から当たり前なのですが。。。）

ちなみに、横歪εatを公称歪εntに換算すると、
εnt＝exp(εat)-1＝exp(-0.347)-1＝-0.293
となります。要するに、直径は元の10mmから2.93mm縮むだけで、7.07mmになります。5mmにはなりません。

No.1の方の回答で、「ポアソン比とは・・・任意の歪み率に対して成り立つ式ではありません。」という記述は誤りです。
真歪で考えれば、任意の歪に対して成り立ちます。

お礼

ど素人の質問に対し分かりやすく事細かな説明どうもありがとうございます。

回答No.1

rnakamra

ポアソン比とは縦歪み率ΔL/Lで横歪み率Δr/rを割ったものの符号を変えたもののΔL/L→0とした極限での値です。
任意の歪み率に対して成り立つ式ではありません。

具体例で説明します。
底面の半径r,長さLの円柱を1%伸ばしたときの変形を考えます。
長さを1%変化させたときのポアソン比を0.5とすると
長さはL→1.01L,半径はr→0.995rとなります。
これをこの状態に対してさらに1%伸ばすと
長さ1.01L→1.0201L,半径0.995→0.990025r となります。
このときの長さの変化率=0.0201,半径の変化率=-0.009975となり、この値から求められるポアソン比は0.49627となり1%の場合のポアソン比と異なってしまいます。

つまり、ポアソン比とは微小なゆがみについて成り立つもので、大きいスケールのゆがみについて直線的に成り立つわけではないのです。

ここをもう少し詳しく言うと、
σ=-(Δr/r)/(ΔL/L)=-(L/r)(Δr/ΔL)
ですが、ポアソン比はこれのΔL→0とした極限となります。
つまり
σ=-(L/r)dr/dL
となります。
σが常に一定だとしてこの微分方程式を解くと
-σ∫dL/L=∫dr/r
-σlnL+C1=lnr→r=CL^(-σ)
と半径rは長さLの指数関数であらわされます。(線形ではない)