固有振動のモード

質問

温度Tで熱平衡状態の体積V中の空洞放射の電磁波を呈上はと考える
振動数νとν+dνの間に含まれる固有振動のモードの数が(8πV/c^3)ν^2dνであることを示せ。

という問題で、半径k=(2π/c)νとk+dk=(2π/c)(ν+dν)の２つの球面で
はさまれる球内のk点の数の2倍に等しいとあるのですがどういう意味でしょう？

(2×4πk^2 dk)/(8π^3/V)=8πV/c^3)ν^2dν

とあるのですが、4πk^2 dkが何を指しているのか分かりません。

回答No.1

siegmund

> 4πk^2 dkが何を指しているのか

半径が k～k+dk の領域の微小体積が 4πk^2 dk です．
球の表面積 4πk^2 に厚さ dk をかけたもの．
体積の引き算
4π(k+dk)^3/3 - 4πk^3/3
で dk の１次まで取っても良いわけですが，
前者の方がベターです．
今は球の体積を知っているわけですが，
通常は微分関係式の方を先に知ってそれを積分するという筋道ですから．

> 球内のk点の数の2倍

電磁波は横波ですから，k を決めてもモードが２つあります．
例えば，z 方向に進行する平面波でしたら(つまり，k=(0,0,kz))，
電場の方向が x 方向のものと y 方向のものとがあります．
２つを適当なウェイトで合成すれば，
電場が xy 平面で適当な方向を向いたものが作れます．