固有振動数を求めたい

質問

あるシステムの運動方程式を導くと、
mx"1+k(2x1-x2)=f1
mx"2-k(x1-2x2)=f2
となりました。（"はツードットを意味します。xの右の数字は添え字です。）
このシステムの固有振動数を求めたいのですが方法がわかりません。
参考サイトでもよいので教えていただけませんか？
また、この固有振動数の時のシステムの振る舞いについて述べよという問題もあるのですが、こういう場合、文章で書くのですか？

回答No.2

reiman · ベストアンサー

＃1でもいいのですが
一般的には複雑な線形結合にしなければならないので
本筋の解き方は

x=
┌　┐
│x1│
│x2│
└　┘
A=
┌-- --┐
│ 2 -1│
│-1　2│
└-- --┘
f=
┌　┐
│f1│
│f2│
└　┘
とおくと

mx"+kAx=f

あとは
正則行列Pを使って座標変換
y=Px
を行い
g=P^-1f
とおくと
my"+kP^-1APy=g
P^-1APが対角行列ΛになるようにPを決定すれば良い。
すると
my"+kΛy=g
すなわち
my1"+kλ1y1=g1
my2"+kλ2y2=g2
となり簡単な非ベクトルの定係数2階線形非斉次線形方程式になる。
ただし
y1:yの第1成分
y2:yの第2成分
g1:gの第1成分
g2:gの第2成分
λ1:Λの1行1列
λ2:Λの2行2列

要するにこの問題は行列の対角化の問題です。
固有振動数は斉次の解を求めればすぐに求まります。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとかできました。

回答No.1

yokkun831

辺々引けば，x1-x2について，
辺々足せば，x1+x2について強制振動の方程式が
得られますよね。それぞれ，相対運動および
重心運動を示す方程式になっていると思います。
それぞれの固有振動数は明らかです。後半は，
運動方程式をもとに，それぞれの振動数のときの
x1,x2のふるまいをのべればいいのでは？
外力があるので，共振として議論することに
なるのかな？

お礼

回答していただきありがとうございます。
振動工学なるものを受講したことがなく詳しいことが分からないのですが、書いていただいたことを参考にして解いてみます。