～ラプラス問題の考え方～

質問

すいません。

1/（s^2+1）^2

これをラプラス逆変換しなくてはいけないんですが、これは部分分数分解では解けませんか？私は普段、部分分数分解でといているのですが、なかなか解けません。

A/(s^2+1) + B/(s^2+1)^2

このように考えてはいけませんか？これだと解がA=1/2 B=1　　と出てしまいます・・・

お助けください・・・一時間後にはテストが待っています・・・（ToT）

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

これは、いくつかの、段階を踏まないと、求めることができないと思います。
F(s)＝1/（s^2+1）^2＝A/(s^2+1) + B/(s^2+1)^2
とすると、明らかに、
A=0,B=1
となりますので、意味がありません。
この場合には、複素数のレベルまで因数分解する必要があります。1/（s^2+1）＝i/2{1/(s+i) - 1/(s-i)}
として両辺を２乗すると、
1/（s^2+1）^2＝-1/4*1/(s+i)^2 -1/4*1/(s-i)^2+1/2*1/(s^2+1)
となります。この両辺を逆変換すると、
f(t)＝-1/4*e^{-it}t-1/4*e^{it} +1/2*sin t
＝-t/2*cos t +1/2*sin t
となるような気がします。ラプラス変換は遠い昔にやったことなので、今はほとんど忘れてしまっていますので、自信がありません。この導き方で正しいかどうかは、この式を見直し、ご自分で判断して下さい。
とにかく、ラプラス変換は計算練習をしっかり積んで、慣れるしかありません。がんばって下さい。

お礼

ご回答ありがとございます。やはりサイン、コサインまで求めないと意味ないですよね。とりあえず解答はサインとコサインが出てきます。（先生談）もう少し様子を見てみます。

回答No.2

rabbit_cat

おそらく、
1/(s^2+1)*1/(s^2+1)
と、掛け算と思って、それぞれの逆変換（sint)の畳み込み積分を計算するのが一番はやいかな。

お礼

なるほど！！・・・ってsintがよくわからん・・・（笑）
ご解答ありがとうございます！！