2つの直線の距離

質問

2点P(2,1,3)とQ(1,2,1)を通る直線と、2点R(-1,-2,-2)とS(1,-4,0)を通る直線の最短距離を求めよ

という問題があるのですが、それぞれの直線の方程式は出せましたが、距離を出す方法が分かりません。二つの直線に垂直な直線を出して交点の座標から出せるかな？と思いましたが・・・なんとなく違うような気がしています。
もっと良い回答はないでしょうか？

回答No.4

tarame · ベストアンサー

No.1です。
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二つの直線に垂直な直線を出して交点の座標から出せるかな？と思いましたが・・・なんとなく違うような気がしています。
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そんなことありませんよ。

２つの直線の方程式が求められたようなので、それぞれを
…＝…＝…＝ｓ，…＝…＝…＝ｔ　とおいて
それぞれの直線上の点をｓ，ｔを使って表現します。
その２点を結ぶベクトル(Ｖ↓とします)と、２つの直線が垂直になればよいので
Ｖ↓・ＰＱ↓＝０
Ｖ↓・ＲＳ↓＝０　を解いて、ｓ，ｔが求まります。

＞もっと良い回答はないでしょうか？
No.1は、それに答えたつもりだったのですが、もしかしたら
こちらのほうが簡単かも！

回答No.3

at9_am

＃２の方が正解を書いていらっしゃいますが、計算が大変そうなので、別解を一つ。ただし原点を O とします。

まず、PQとRSが交わらないことを確認します。当然ですが、交わった場合は０です。

交わっていないことを仮定すれば、
PQを通る直線と最短距離にある RS 上の点 T が存在し、三角形 PQT が定義できます。ただし、T は
OT = OR + t' RS
を満たす必要があるので、直線上の点は全て t の一次関数になります。

すると、PQ、PT、QT の長さが分かりますから、ヘロンの公式（URL参照）から T からの垂線の足を U と置けば、
TU^2 = {4PQ^2 TQ^2 - (PQ^2 + QT^2 - TP^2)^2}/4PQ^2
となります。
実は、QT^2-TP^2 は必ず t に関しての一次式になるので、この式は全体としては t についての二次式です。

あとは、TU^2 の最小値を与える t が TU の最小値を与える t と一致することから、微分して０と置けば解が得られます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

回答No.2

keydaimon

解いてみましたが、

直線のベクトル方程式は出たんですね？
では、仮にそれぞれの媒介変数をt,sとしたとき、直線１のある点t0（てぃーぜろ）をとったとき、直線２と点t0との距離を出す。その距離の中にはsもt0もはいっていますね？

さて、今sは変数ですが、t0は定数です。sが自由自在に動くとき、距離が最小になるようなsをt0を用いて書ける筈です。またそのときの距離はt0のみの式になるので、t0を動かしたとき、最小になるようなt0をとればOKです。

計算はそれほど綺麗にはなりませんでした。二次方程式の解の公式を何回か使って効率よくといてみて下さい。あっさりは解けないです（私の効率が悪いのかもｗ）。

がんばってくださいね～ヽ(´ー｀)ノ

回答No.1

tarame

直線ＰＱの方向ベクトルと直線ＲＳの方向ベクトルに垂直なベクトルを求める。
そのベクトルを法線ベクトルとするＰを通る平面を求める。
その平面とＲとの距離を求める。