０あるいは負数の対数は存在しないのですか？

質問

複素数の対数は存在することもあまりしっかりとはわかっていないからかもしれませんが、何か対数に代わるものが対応しているようなこともあるのかなと思っています。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

実数の範囲では存在しませんね。
複素数の範囲まで拡張した対数関数では負数でも存在しますね。
ゼロでは未定義になります。
複素数では
底をe（自然対数の底）として
z=|z|e^(iθ)とおくと
log z＝　log|z|＋i (θ+2nπ)
となります。（iは虚数単位）

負数の例として-5を考えると
z＝－5＝5 e^(-iπ)
ですので
log (－5)＝log 5 ＋i(π+2nπ), (nは整数)
となります。

お礼

大変勉強になる説明をいただきました。ご丁寧なご教示ありがとうございました。

回答No.1

proto

もとの正数を定義域とする対数関数から
定義域を広げて定義することは出来ると思います
zを複素数として
　　z=|z|*exp(i*arg(z))
より、両辺の対数をとって
　　log(z)=log(|z|*exp(i*arg(z)))
　　　　　=log|z|+i*arg(z)
この式を複素数の対数の定義として採用すれば
対数関数は無限多価関数となり
定義域はz≠0なる全ての複素数です

a>0として
　　log(-a)=log(a*exp(i*(2n+1)π))　　(但しnは整数)
　　　　　 =log(a)+i*(2n+1)π

お礼

ご教示どうもありがとうございました。一度きちんと勉強したいと思っております。