対数関数の主値

質問

複素数平面から|x|>=1(xは実数)の部分を取り除いてできる領域をGとすると、z∈G
に対してA(z)=∫[0,1]z/(1-z^2*t^2)dtと定義する
A(z)=1/2*ln((1+z)/(1-z))を示せ・・・(1)

(1)なんですが、この場合の対数関数は何故、主値とることになるんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7

A(z)の特異点がz=±1で、Ｇは区間(-∞,-1],[1,∞)を取り除いていますから、枝は１つしかとれません。分かりやすく言えば、特異点の周りを一周することができません。したがって、必然的に、この場合の対数関数は、主値をとらざるを得ないのです。

お礼

補足とお礼を間違えました。
すいません。

補足

リーマン面で考えると、対数関数の場合、ｚ平面の
分枝点の周りの一周目が主値に対応していて、二週目、三週目・・・と一回りするたびにｚに対応する対数関数の値が変化していくので、領域Gでは分枝点のまわりを回ることが許されないから主値をとるという事でしょうか？