数的推理の問題です。

質問

数的推理の問題で、以下のものの解き方、また解答が理解できません。
どうか教えて頂けないでしょうか。

問「異なる素数ａ，ｂ，ｃに対し、ｆ（ｌ，ｍ，ｎ）は、ａｌ(ここでのｌはａの累乗です。うまく打ち込めなかったので分かりにくくてすみません)，ｂｍ，ｃｎの約数の個数を表したものとする。ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝５のとき、ｆ（２，３，４）－ｆ（１，２，３）の値。」

解説
ｆ（２，３，４）＝３×４×５＝６０
ｆ（１，２，３）＝２×３×４＝２４
よって、ｆ（２，３，４）－ｆ（１，２，３）＝３６

と、なるそうです。
ですが、私には、このｆが何なのか、また解答にある式が理解できません。参考書や中学高校の教科書を開いてみても、類似問題が見当たりません。
関数などではｆの式は見かけますが、この問題は一体何なのか、本当にわかりません。

どなたかこの問の解ける方または、この解説を説明していただける方がいらっしゃいましたら、どうぞ教えてやってください。

ちなみに、この問は大卒程度警察官・消防官試験のテキストからのものです。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1です。
一般化するとわかりにくいのでしょうか。

1800ではなく、81675の約数はいくつあるでしょうか。
素因数分解すると、
81675 = (3^3)×(5^2)×(11^2)

81675の約数はすべて
(3^P)×(5^Q)×(11^R)
の形をしていて、

P=0,1,2,3
Q=0,1,2
R=0,1,2

約数の数は、4×3×3＝36で、1800の約数の数と同じです。

1800を素因数分解すると素数として2,3,5が現れ、81675を素因数分解すると3,5,11が現れたわけですが、
(a^L)×(b^M)×(c^N)

と書いた場合のL,M,Nは全く同じです。つまり、約数の個数は、3つが異なる素数である限り、a,b,cには依存せず、L,M,Nによって決まることがわかります。この場合の約数の個数は、(L+1)(M+1)(N+1)です。
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ご質問の文の中で、
＞ａｌ，ｂｍ，ｃｎの約数の個数
とあるのは、

(a^l)・(b^m)・(c^n)の約数の個数

だと思います。つまり、

f(l,m,n) = (l+1)(m+1)(n+1)

となります。確認してください。

お礼

返信ありがとうございました。
なるほど！！
やっと理解できました。
ありがとうございます。ありがとうございます。
本当に助かりました。

回答No.1

shkwta

「素因数分解と、約数の個数の関係」を応用したものです。

（以下、aのb乗はa^b と表わすことにします。）

たとえば、1800 の約数の個数を求めることにします。
1800を素因数分解すると、
1800 = (2^3)×(3^2)×(5^2)

ここで、
(2^0)×(3^1)×(5^2)=1×3×25 = 75
とか
(2^2)×(3^0)×(5^1)=4×1×5 = 20
というように、

(2^P)×(3^Q)×(5^R)

の形の数を作ると、それが1800の約数になります。ただし、
P=0,1,2,3
Q=0,1,2
R=0,1,2
のどれかです。（0乗は1になると約します）

Pは4通り、Qは3通り、Rは3通りありますから、これらの組み合わせは

4×3×3=36

となって36通りです。つまり、1800の約数は36個あります。
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同様に、異なる素数a,b,cについて、

F = (a^L)×(b^M)×(c^N)

の形の数を作ると、Fの約数は

(a^P)×(b^Q)×(c^R)

の形の数になります。ここでP,Q,Rは、

P = 0,1,2,…,L （L+1 通り)
Q = 0,1,2,…,M　(M+1 通り)
R = 0,1,2,…,N　(N+1 通り)

となります。したがって、P,Q,Rの組み合わせは、
(L+1)×(M+1)×(N+1)　通り
あり、これが約数の個数になります。

したがって、
f(L,M,N) = (L+1)×(M+1)×(N+1)

お礼

お早い返信本当にありがとうございます。
内容を読ませて頂きまして、

…(略)…

となって36通りです。つまり、1800の約数は36個あります。

…のところまでは理解できたのですが、それ以降がやはりよくわかりません。
もう少し考えてみますね。

ありがとうございました。