つり合いの位置と位置エネルギーとの関係

質問

質量の無視できる直角三角形の頂点A,Bにそれぞれ質量m(1),m(2)の小さな錘を付けた物体があり、直角をなす頂点Oが固定されて鉛直面内で振動することができる。このとき、つり合いの位置（直角三角形が静止する）は、Ａの位置エネルギーとＢの位置エネルギーの和が最小になる位置とが等しくなることの証明がわかりません。ご指導を宜しくお願いします。（直感的には、位置エネルギーが小さくなる＝重心の位置が低くなるはず、だから、何となくはわかりますが）

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

直角三角形の頂点を、直角の頂点から時計回りにＯ，Ａ，Ｂと名付けます。
ＯＡ＝r1, ＯＢ＝r2とします。
ＯＡが鉛直となす角をθとします。
Ａの座標を（x1,y1), Ｂの座標を(x2,y2)とします。

すると
x1 = r1 sinθ
y1 = -r1 cosθ
x2 = -r2 cosθ
y2 = -r2 sinθ

次の3つの計算が一致します。

[1]Ｏに対する力のモーメントNが0（右回りを正とします）
N = m1 g x1 + m2 g x2 = m1 g r1 sinθ - m2 g r2 cosθ
ここで、N = 0 の条件は、
m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ

[2]位置エネルギーの和Uが極小　(',"はθでそれぞれ1回、2回微分することを表わします）
U = m1 g y1 + m2 g y2 = - m1 g r1 cosθ - m2 g r2 sinθ
U'=m1 g r1 sinθ - m2 g r2 cosθ
U" = m1 g r1 cosθ + m2 g r2 sinθ

0≦θ≦π/2なら、U"＞0　だから、U'=0　が極小の条件。
よって
m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ

[3]重心の位置がＯの鉛直下。
重心の位置を(x0,y0)とすると、
x0 = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2)
y0 = (m1 y1 + m2 y2)/(m1 + m2)
重心の位置がＯの鉛直下なら、x0 = 0 である。
m1 x1 + m2 x2 = 0
すなわち、m1 r1 sinθ = m2 r2 cosθ

お礼

理解することができました。丁寧なご指導ありがとうございました。