波動関数からシュレディンガー方程式

質問

演習問題を解いていていきずまったのですが、
波動関数ψ(x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx):k,xはベクトル
がシュレディンガー方程式を満たすことを示し、そのときのエネルギー分散関数を求めたいのですが、わかりません。どなたか教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ojisan7 さんの言われるように，
本当はポテンシャル関数の形が分からないと議論しようがないのですが...

質問文にポテンシャルのことが何も書かれていないこと，
波動関数が
(1)　　ψ(x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx): k,xはベクトル
であること，の２点からから推測しますと，
３次元(２次元かも知れないが)の無限に広い自由空間(ポテンシャルなし)での
問題のように思えます．

ハミルトニアンを H として
(上の推測通りとすると，運動エネルギーの項しかない)
(2)　　Hψ = Eψ
がシュレディンガー方程式ですから
与えられた(1)の波動関数を代入して E と k の関係を求めればよいでしょう．

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。説明文には書いていませんでしたが、自由粒子のュレディンガー方程式に対してです。なのでポテンシャルは考えなくていいと思いますがどうでしょうか？

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> 説明文には書いていませんでしたが、
> 自由粒子のシュレディンガー方程式に対してです。
> なのでポテンシャルは考えなくていいと思いますがどうでしょうか？

ということは，私の推測通りですね．
でも，自由粒子だという大事なことは質問文に書かないと，
回答者は困ります．
ポテンシャルは考えなくていいのはその通りです．

ポテンシャルがないと，ハミルトニアンは運動エネルギー部分のみです．
運動エネルギーは本質的に座標による２階微分ですから
(符号，質量，プランク定数などついていますが)，
Hψを計算するのは容易ですね．
そうすると，やっぱりψが出てきて，
前に係数(k に依存する)がついています．
Hψ = Eψ
がシュレディンガー方程式ですから，
前に出てきた係数というのが E に他なりません．

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。なぞが解けてすっきりしました。

回答No.1

ojisan7

その演習問題には、ポテンシャル関数の形が与えられていると思うのですが、・・・

お礼

ご意見ありがとうございます。説明文には書いていませんでしたが、自由粒子のュレディンガー方程式に対してです。なのでポテンシャルは考えなくていいと思いますがどうでしょうか？