点と直線の距離の公式をラグランジュの未定係数法使って求めたい

質問

点と直線の距離とは、点と直線上の点との距離の中で最小であるものとします。

点と直線の距離の公式をラグランジュの未定係数法使って求めたいのですが、どうやればいいですか？

記号はお任せします。

回答No.2

Meowth

点と直線の距離の公式をラグランジュの未定係数法使って
解けることを知っている
あなたは
もう答えが求まっている
あとは自信と勇気だけだ

補足

直線 ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃ ＝ ０ と 点（ｘ０、ｙ０）の距離Ｄが
Ｄ ＝ ｜ａｘ０ ＋ ｂｙ０ ＋ ｃ｜ ／ √（ａ＾２ ＋ ｂ＾２）
で与えられるという公式を、ラグランジュの未定乗数法を用いて導く。
ただし、ａ＾２ ＋ ｂ＾２ ≠ ０ とする。

ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃ ＝ ０ の条件のもとで、
Ｄ＾２ ＝ （ｘ －ｘ０）＾２ ＋ （ｙ － ｙ０）＾２ の最小値を考えればよい。

F(x,y,λ) = D^2 + λ*(ax+by+c) = (x-x0)^2 + (y-y0)^2 + λ(ax+by+c)
とする。
ラグランジュの未定乗数法により、
∂F/∂x = ∂F/∂y = ∂F/∂λ = 0 にすればよい。
計算して、
∂F/∂x = 2(x-x0) + λa = 0
∂F/∂y = 2(y-y0) + λb = 0
∂F/∂λ = ax + by + c = 0
これを解いていくと、
x - x0 = -λa/2 , y - y0 = -λb/2
a(x0 - λa/2) + b(y0 - λb/2) + c = 0
よって、λ = 2* (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2+b^2)
D^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2
= (λ/2)^2 * (a^2+b^2)
= (a*x0 + b*y0 + c)^2/(a^2 + b^2)
よって、
D = | a*x0 + b*y0 + c|/{√(a^2 + b^2)}
が最小値となる。

回答No.1

koko_u_

>記号はお任せします。
ということは貴方は何も手をつけていないのですね。
自分でやってみてから質問しましょう。