二点間の最短経路

質問

三次元空間内で二点間の最短経路が直線であることは想像できるのですが、特殊相対論での四次元空間で二点間の最短経路はどうなるのかわかりません。

どなたかわかりやすく説明していただけますか？

ここでの四次元空間とは平坦な空間のことです。

回答No.1

tomtom_

なんか御存知で確認のためにお聞きになっているような気もするのですが．．．（最短距離じゃなくて最短経路とおっしゃってますし）

何次元だろうと，局所的に微分可能な空間（多様体上）である限り，最短経路は測地線の微分方程式となります．測地線の微分方程式は，「最短」という条件だけで導かれるシンプルな方程式で，特殊及び一般相対性理論の運動方程式に等しくなります．時空が平坦だろうが無かろうが同じ微分方程式になります．

シンプルとは言え，方程式としては大事なものです．クリストッフェル記号という物理的な量も現れる上に，実はそれが数学のリー代数の重要な量であることが分かったり，同時に球対称ブラックホールを表すシュヴァルツシルト時空の平坦な時空からの差を表す量であったり，面白いこと満載です．

補足

測地線の微分方程式を解くことで最短経路が導けるのはわかりました。では、４次元の平坦な空間において測地線の微分方程式を解くと、どのような経路が最短となるのでしょうか？