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連立方程式の作り方
AB:BC=3:2とする平行四辺形ABCDがある。 (1) 平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dmade移動する点Pがある。 この点Pが点Bからx cm移動したときの△DBPの面積をy cm＾2とすると、xとyの間には次の関係が成り立つという。 ・点PがBC上にあるとき ｙ=(5/2)x ・点PがBC上にあるとき y=-ax＋15(aは定数） BCの長さを求める問題で (5/2)*BC=-a*BC＋15 -a*(5/2)*BC＋15=0 の２つの連立方程式がどうやって出たのかわかりません。 教えてください。
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- freedom560
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この問題は順を追って考えるとこうなります。 平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dまで移動する点P（点Bからx cm移動したもの）がある → ｘが取りうる範囲は ０≦ｘ≦ＢＣ＋ＣＤ ここで、AB:BC=3:2という関係式から ＣＤ＝（３／２）ＢＣ であることがわかるので ｘが取りうる範囲は ０≦ｘ≦（５／２）ＢＣ と変形することができます。 ただし、この範囲は点ＰがＢＣ上にあるときと点ＰがＣＤ上にあるときに分割されます。 つまり、点ＰがＢＣ上にあるときは ０≦ｘ≦ＢＣ となり、（ｘ＝０のとき点Ｐは点Ｂ上、ｘ＝ＢＣのとき点Ｐは点Ｃ上） 同様に点ＰがＣＤ上にあるときは ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ となります。 （ｘ＝ＢＣのとき点Ｐは点Ｃ上、ｘ＝（５／２）ＢＣのとき点Ｐは点Ｄ上） 次に、上記の範囲と与えられた面積の式の関係から ｙ＝（５／２）ｘ （０≦ｘ≦ＢＣ） ｙ＝－ａｘ＋１５ （ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ） が言えます。 ここで、三角形の性質から 点Ｐが点Ｂ上または点Ｐが点Ｄ上のとき △ＤＢＰ＝０が言えるのですが、ｘ＝０を代入してもあまりうれしくないのでｘ＝（５／２）ＢＣの方を代入します。 ∴ －ａ（５／２）ＢＣ＋１５＝０ また、点Ｐが点Ｃ上にあるときは上記２つの△ＤＢＰの面積は等しくなる（関数が連続になる）はずなので、 ∴ （５／２）ＢＣ＝－ａＢＣ＋１５ という連立方程式が出てきます。 つまり ＞点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか？ については、「ＢＣと置き換えた」と考えるのではなく「ｘ＝ＢＣを代入した」と考えた方がいいでしょう。 もちろんＢＣ＝（２／３）ＣＤなので ｙ＝（５／２）ｘ （０≦ｘ≦（２／３）ＣＤ） ｙ＝－ａｘ＋１５ （（２／３）ＣＤ≦ｘ≦（５／３）ＢＣ） と考えて「ｘ＝（２／３）ＣＤを代入したときに２つの面積が等しい」としても正解にたどり着けますが、ＢＣの長さを求める問題なので全くお勧めできません。
補足
丁寧な説明ありがとうございます。 とても感謝をしております。 点Pが点C上のとき ｙ＝（５／２）ｘ （０≦ｘ≦ＢＣ） ｙ＝－ａｘ＋１５ （ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ） の二つの式は同じ面積ななので、 （５／２）ＢＣ＝－ａ(5/2)ＢＣ＋１５ と考えていいのですか？
- gingam78180
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点ＰがＣにある時とＤにあるときを考えて連立方程式を立てているだけだと思います。 ・点ＰがＣにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC＋15"の２つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。 ・点ＰがＤにある時は、y=-ax+15の式においてxは(BC+CD),yは0だから、-a(BC+CD)+15=0が成り立つ。またAB:BC=3:2とあるので、AB=CDからAB:BC=CD:BC=3:2となりCD=(3/2)BCが成り立つ。よって-a(BC+CD)+15=-a(5/2)BC+15=0が成立する。
補足
＞・点ＰがＣにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC＋15"の２つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。 点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか？
- ymmasayan
- ベストアンサー率30% (2593/8599)
お礼
ありがとうございます、 こんなとき方をするんですね。 とても助かりました。 ありがとうございます。