物理の問題なんですが・・・

質問

体積の３０％が密度ρ1[kg/立方メートル]の物質、７０％が密度ρ2[kg/立方メートル]の物質からなる、全体積Ｖ[立方メートル]の物体を、密度ρ0[kg/立方メートル]の液体に入れたところ、浮かんだ。この物体の液面上にある部分の体積をＶ’と、液面下にある部分の体積Ｖ'’の比を求めよ。
という問題なのですが、解き方があやしいので、詳しい回答が出来る方、是非お願いします。

回答No.1

alien55 · ベストアンサー

物体に働く浮力は、その物体が押しのけた液体の重さに等しい（アルキメデスの原理）………(☆)
を用いて解くことができます。

問題の物体が、一様な密度を持っているとすると、
　　体積の３０％が密度ρ1[kg/m^3]の物質、７０％が密度ρ2[kg/m^3]
という条件から、物体の(平均)密度ρは、
　　ρ ＝ 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2
です。物体の質量は、ρ×V なので、物体に働く重力は、
　　重力 ＝ 質量×重力加速度[N] ＝ ρVg ＝ ( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )Vg[N]　………(1)
となります。ただし、重力加速度をg[m/s^2]としました。

この物体が押しのけた液体の体積は、液面より下にある体積V''ですから、(☆)より、
　　浮力 ＝ 押しのけた液体の重さ ＝ (押しのけた液体の密度)×(押しのけた液体の体積)×(重力加速度)[N]
　∴　浮力 ＝ (ρ0)(V'')(g)[N] ………(2)

この物体は浮かんでいるので、浮力と重力は、つりあっています（ 重力 ＝ 浮力 ）。すなわち、(1)、(2)を用いると、
　　( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )Vg ＝ (ρ0)(V'')(g)
∴　( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )V ＝ (ρ0)(V'')　　　　（← gを消去）
∴　( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )( V' ＋ V'' ) ＝ (ρ0)(V'')　　　　（← V ＝ V' ＋ V''）
この両辺をV''で割ると、
　　( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )( V'/V'' ＋ 1 ) ＝ ρ0
V'/V''＝Xとすると、この式は、
　　( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )( X ＋ 1 ) ＝ ρ0
これをXの方程式とみて解くと、
　　X ＝ ρ0／( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 ) － 1　…………（答）
これが求める「比」です。

上の（答）の式を変形して、
　　X ＝ ( ρ0 － 0.3ρ1 － 0.7ρ2 ) ／ ( 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2 )
とできますから、「何対何」という表現をすれば、
　　ρ0 － 0.3ρ1 － 0.7ρ2 ： 0.3ρ1 ＋ 0.7ρ2
もまた正解です。

なお、ご存知かも知れませんが、式(1)の重力、式(2)の浮力の単位が[N](ニュートン)であることに注意してください。
もし、力の単位を[kg重]にしたければ、式(1),(2)の重力加速度gは不要です。
答が間違っていたら、補足をお願いします。