ベクトルの問題

質問

3組の対辺が互いに垂直であるような四面体Vがある。このとき、Vの各辺の中点は、Vの重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ。
という問題がわかりません。よろしくお願い致します。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

けっこう愚直に計算すれば示すことができます。
かなり答えに近いですが、敢えて「全て」を書かないことにしました。

→AB=b, →AC=c, →AD=dと表記すると、
1.条件から内積b・c=c・d=d・bがいえる。
2.Vの重心から各辺の中心までのベクトルは、
[例2-1.ACの中点まで](1/4)(-b+c-d)
[例2-2.BCの中点まで](1/4)(+b+c-d)
という形になる。（他の中点までのベクトルもすべて求める必要あり。私は省略します。）
※Vの重心をGとして、→AG=(1/4)(0+b+c+d)は所与のものとしてます。
3.上記2.のベクトルの長さの２乗は、1.の内積の値をkと表記すると、いずれも(1/16)*(|b|^2+|c|^2+|d|^2+●k)となる。
（●には数字が入ります。計算して確かめてください。）

ちなみに、1.に関して類題。
「四面体ABCDにおいて、AB⊥CD,AC⊥BCのとき、AD⊥BCであること（2組の対辺が互いに垂直であれば、もう1組存在する対辺も垂直であること）を示せ」

お礼

大変遅くなってしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございました。