数学A図形について

質問

数学Aの図形について質問です。
解説について質問です。
重心と外心が一致する三角形について問題なのですが。
GDとBCが垂直だと外心の定義から導いたとしても、 ADとBCが垂直になるとは限りませんよね。
重心は、対辺Cの長さがBよりも長かったとしても成り立ちますし。
要するに、ADが導き出されれば、GDは同じくとなりますが、
GDがすいちょくだとしても、その逆は成り立たないと思うのですが。
これでいいのはなぜなのかを教えてください。
AGがGDと少し微妙に屈折してるかもしれませんしね。

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回答No.5

maskoto · ベストアンサー

だからね、
題意より、今回は重心と外心が重なってるの
(重なってるという前提なの！)
その重なった位置がGなの
で、外心のことは一旦棚上げして
一旦忘れる！！
重心と言う点だけ見て
AGDは同一直線上なのね
則ち、直線GDと直線ADは同じ直線を指している
この時点でGDとAGは少しも折れ曲がってはいない
ここまでハッキリさせた時点で

Gは外心である事も思い出そう
すると、GDはBCと垂直と言う事になる
前半戦でGDとAGは折れ曲がつてないことはハッキリしてるから、
GDとBC垂直↔ADとBCは垂直となる
こういう事だよ

では、おやすなさい^⁠_⁠^

回答No.4

4500rpm

点Aは、一つで同じ
点Gは「重心と外心が一致するとき」なので、一つで同じ
点Dは、重心の定義から辺BCの中点で有り、重心である点Gは直線AD上にある。また、外心の定義から辺BDの垂二等分線=辺BCの中点で同じ

なので、点A、点G、点Dは、重心の時も外心の時も同じで、点Gは直線AD上にある。また、外心の定義からGD⊥BCであり、点Gは直線AD上にあるのでAD⊥BCである。

辺BC＞辺ABの三角形で重心と外心を書いて、一致するか確かめてください。
正三角形以外一致しませんから。

回答No.3

maskoto

よろしいか、
貴方の疑問に思うような事が起こらないのは、三角形が正三角形の時だよ
と模範解答は言いたいわけです

まず、Gは重心だから
DがBCの中点であるなら
AとGとDは同一直線上にあることになる
ここまではよろしいか？

で、Gは外心でもあるから(∵重心と外心が一致するときを考えているから)
GDはBCに垂直
既に述べたとおり、AGDは同一直線上なのだから
直線GDとは則ち直線ADのことであり
GD垂直BCなら、それは則ち
AD垂直BCということになる
(繰り返しになりクドいかもだが、これが起きるのは
Gが重心であり、かつ外心でもあるから！)

まだ、腑に落ちない点があれば
補足してください
(返信は明日になるとおもけど(≡^.^≡))

補足

“重心である時”は、そうだと思いますよ。
でも、その時はその時で、外心のODが同一直線上にあるとは言えるのでしょうか。
そもそも直線の定義というか公理というのかがよくわからなくてググりましたけど、明確にされていないらしいので、、
でも、少し曲がってる可能性もあるじゃないですか。
AGが“外心である時“というその時では。
なんでAGとGDが同一直線上にあるのかを。
教えてくれませんか。
GDは垂直二等分線上だとしても、AGから左に1度曲がってるかもしれません。
曲がってないことを証明できれば、ADが重心であることに一致します。GDだけが垂直二等分線だとしても、ADも同様にとはなり得ないと言いたいです。

回答No.2

4500rpm

＃１です。
＞c>bの三角形abcでも外心はできるし、五心自体全部できると思います。
→できますが、「一致しない」と思います。
問題文は、「重心と外心が一致するとき」とあります。
c>bがよくわかりませんが、辺BC＞辺ABのことでしょうか。
その三角形に重心と外心を書いて、一致するか確かめてください。

お礼

やっぱ答えられませんかね。 ありがとうございます。

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補足

>>”重心は“ですよ。
>>一致しないでしょうね。正三角形だけでしょう
c>bがよくわかりませんが
>>前に書いてある通り対辺c,bです

なんでGDが垂直二等分線であるということからAGも同様にとなるのですか。
ADの中のGDは定義からだとしても、AGもとはならないでしょと聞かれたら答えられますか？

回答No.1

4500rpm

①点Gは重心なので直線AGを延長したところの点DはBCの中点を通る=点Dは辺BCを二等分する点
②点Gは外心なので、点Dは辺BCを二等分する点で有り、①のことから、直線ADは点Gを通る。かつ直線GDは辺BCと垂直=直線GDを延長した直線ADも辺BCと垂直

なので問題無いと思います。

＞重心は、対辺Cの長さがBよりも長かったとしても成り立ちますし。
→重心は成り立っても、問題は、重心と外心が同じとありますので、外心の場合は、「対辺Cの長さがBよりも長かった」の場合は、成り立たないと思います。

補足

②点Gは外心なので、点Dは辺BCを二等分する点で有り、①のことから、直線ADは点Gを通る。かつ直線GDは辺BCと垂直=直線GDを延長した直線ADも辺BCと垂直

についてなのですが、GDはBCと垂直なのはわかりますよ。
だからってイコールでADも垂直とはならないと思います。

あと、最後のやつに関しては、c>bの三角形abcでも外心はできるし、五心自体全部できると思います。