このような考えはどうでしょうか？（参考までに）
文字ばかりで読みにくいかもしれませんが・・
四面体の頂点をO(0,0,0),A(a,0,0),B(b1,b2,0),C(c1,c2,c3)とする。
対辺が垂直なので、
(ベクトルOA)・(ベクトルBC)=0より、
(a,0,0)・(c1-b1,c2-b2,c3)=a(c1-b1)=0・・・(1)
(ベクトルOB)・(ベクトルAC)=0より、
(b1,b2,0)・(c1-a,c2,c3)=b1(c1-a)+b2c2=0・・・(2)
(ベクトルOC)・(ベクトルAB)=0より、
(c1.c2.c3)・(b1-a,b2,0)=c1(b1-a)+c2b2=0・・・(3)
対辺の中点を結んだ線分の中点は３本とも一致し、それが四面体の
重心。（参考ＵＲＬのページ中段付近、■単体のｎ次元幾何から、の
後半部分を参考に）
たとえば、OAの中点(a/2,0,0)とBCの中点((b1+c1)/2,(b2+c2)/2,c3/2)
を結んだ線分の中点は((a+b1+c1)/4,(b2+c2)/4,c3/4)
あとは、３組の対辺の中点を結んだ線分の長さを式で表し、最初の関係式
を利用すれば、すべて等しいことがいえそうです。
OAの中点(a/2,0,0)とBCの中点((b1+c1)/2,(b2+c2)/2,c3/2)でやってみる
と、（長さの２乗で計算）
((b1+c1-a)^2+(b2+c2)^2+c3^2)/4・・・☆
(1)式からb1=c1、(2)式からb2c2=-b1(c1-a)=-b1(b1-a)なので、☆は
{(2b1-a)^2+b2^2+c2^2-2b1(b1-a)+c3^2}/4
={(a^2+2b1^2-2ab1)+(b2^2+c2^2)+c3^2}/4
OCの中点(c1/2,c2/2,c3/2)とAB((a+b1)/2,b2/2,0)の中点では
((a+b1-c1)^2+(b2-c2)^2+c3^2)/4
=(a^2+(b2-c2)^2+c3^2)/4
=(a^2+b2^2+c2^2-2b2c2+c3^2)/4
={a^2+b2^2+c2^2+2b1(b1-a)+c3^2}/4
={(a^2+2b1^2-2ab1)+(b2^2+c2^2)+c3^2}/4
・・・・
