微分の解き方が分かりません。

質問

ｙ＝ｘ^3＋(3/2)x^2－6x　をｘについて微分するとどうなりますか？
ていうより、答えは3ｘ^2＋3ｘ－6になるということは分かっていますが、解き方が今ひとつ分からないんです。
まだ学校では習ってないんですが・・・　どなたか、よろしくお願いします！

回答No.1

newtype

なかなかの勉強家ですな。一応高校１年生でもわかるようにf(x)=x^nで、ｎが自然数のときを解説しますが、せっかくですから「実数」の場合もお教えします。
なお、この「実数」ときのやり方は有理数の場合とはまったく別のやり方をするので、有理数までのやり方は忘れてしまってもよいです。

f(x)=x^nの導関数はあっさりできます。
(a^n)-(b^n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+a^(n-k){b^(k-1)}+…+ab^(n-2)+b^(n-1)]
という式は右辺を展開すれば成立することがわかる。

f’(x)＝lim(h→0){f(x+h)-f(x)}/h＝lim(h→0){(x+h)^n-x^n}/h
＝lim(h→0)(x+h-x)[(x+h)^(n-1)+(x+h)^(n-2)x+…+(x+h)^(n-k){x^(k-1)}+…+(x+h)^(n-1)]/h
＝lim(h→0)[(x+h)^(n-1)+(x+h)^(n-2)x+…+(x+h)^(n-k){x^(k-1)}+…+(x+h)^(n-1)]
=nx^(n-1) (nが自然数のとき)
ちなみｎが整数、有理数のときはこれをもとに計算していく。

f(x)=x^(α) (αは実数)のとき
両辺に対数をとると
logf(x)=αlogx 両辺をｘで微分して（対数微分法）
⇒f’(x)/f(x)=α/x
⇒f’(x)=αf(x)/x=αｘ^(α)/x=αx^(α-1)

f(x)=g(x)+h(x)+…と多項式であらわされるとき、
f’(x)=g'(x)+h'(x)+…というふうに項ごとに微分してよい。これは教科書に載っているので調べておいてください。ちなみにこの性質を線形性という。