高校数学の問題です。

質問

a.bを有理数とする。xの数式 A.Bを
A= x^3 + ax^2 + 2bx -4a + 2b +1
B= x^2 -4x -3
とする。
x= 2+√7 のとし、Aの値が 43 +13√7
であるならば、aと、bの値は？。

わからず、困っています。宜しくお願い致します。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#3です。

A#3にへぼミスがありました。
#4さん、指摘有難う。

A#3を見てもらえば気がつくと思いますが
>x= 2+√7 のとし、Aの値が 43 +13√7
の「43 +13√7」をド忘れしてゼロとしてしまったへぼミスです。

以下のように差し替え、訂正願います。
-------------------------------------
>　A= x^3 + ax^2 + 2bx -4a + 2b +1
>に x= 2+√7を代入し式を整理すると
>　(2b+4a+19)√7 +(6b+7a+51) = 0 ←　ミス
　(2b+4a+19)√7 +(6b+7a+51) = 43 +13√7 ←　訂正後の式

>a,bは有理数、√7は無理数なので、この式が成立するための条件は
>　2b+4a+19=0 かつ 6b+7a+51=0 ←　上のミスに伴う間違い
　2b+4a+19=13 かつ 6b+7a+51=43 ←　訂正後の式

>a,bについての連立方程式として解けば
>　a=-6/5,b=-71/10 ←　上のミスに伴う間違い
　a=-2,　b=1 ←　　訂正後の答え

回答No.4

alice_44

合ってるのは、A No.1 のほう。
No.3 の何処が間違いかは、
No.1 の解法を読めば解る。

回答No.3

info22_

A= x^3 + ax^2 + 2bx -4a + 2b +1
に x= 2+√7を代入し式を整理すると
　(2b+4a+19)√7 +(6b+7a+51) = 0
a,bは有理数、√7は無理数なので、この式が成立するための条件は
　2b+4a+19=0 かつ 6b+7a+51=0
a,bについての連立方程式として解けば
　a=-6/5,b=-71/10

回答No.2

alice_44

思わせぶりに書いてある B を利用すると、
(1) 式の計算が少し楽になる。
多項式 x^3 + ax^2 + 2bx - 4a + 2b + 1 を
多項式 x^2 - 4x - 3 で割った余りへ
x= 2+√7 を代入。

回答No.1

gohtraw

２ｂｘ＝４ｂ＋２ｂ√７
ａｘ＾２＝ａ（４＋４√７＋７）＝１１ａ＋４ａ√７
ｘ＾３＝８＋４２＋１２√７＋７√７＝５０＋１９√７
なので、
Ａ＝５０＋１９√７＋１１ａ＋４ａ√７＋４ｂ＋２ｂ√７－４ａ＋２ｂ＋１　・・・（１）
ａ，ｂは有理数なので、√７を含む項は無理数、含まない項は有理数になります。
そこで（１）を有理数と無理数に分けると
有理数：５０＋１１ａ＋４ｂ－４ａ＋２ｂ＋１＝５１＋７ａ＋６ｂ
無理数：１９√７＋４ａ√７＋２ｂ√７＝（１９＋４ａ＋２ｂ）√７
Ａの値が４３＋１３√７なので、
５１＋７ａ＋６ｂ＝４３
１９＋４ａ＋２ｂ＝１３
あとはこの連立方程式を解くだけです。