4辺の和の最小値

質問

四角形ＡＢＣＤで、対角線ＡＣ，ＢＤは四角形の内部の点Ｐで交わっている。ＡＣ＝２，
ＢＤ＝３，∠ＡＰＢ＝６０°のとき、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡの最小値を求めよ。

次のように考えました。正誤、アドバイスをお願いします。
点Ｂを通り、ＡＣに平行な直線Ｌを引く。同様に、点Ｄを通り、ＡＣに平行な直線Ｍを引く。
次に点Ｃを通り、直線Ｌ，Ｍに垂直な直線Ｎを引く。直線ＬとＮとの交点をＥ，直線ＭとＮとの
交点をＦとする。直線Ｌに対称に、点Ｃを移動した点をＣ’、直線Ｍに対称に、点Ｃを移動した点
をＣ’’とする。Ｃ’Ｅ＝ＥＣ、ＣＦ＝ＦＣ’’、ＥＦ＝２√３／３｛図から求められる｝、また、ＡＣはＥＦの垂直二等分線のとき、最小になる。求める最小値はＡＣ’＋ＡＣ’’＝２ＡＣ’＝８√３／３。
図的に考え、分かりづらいと思いますが、よろしくお願いします。
また、ヒントでもいいので、別解があったら教えてもらえればと思います。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

せっかくなので、質問者さんがひいてくれた直線L,Mを流用させてもらいます。

図のように、直線L,M上にそれぞれBQ=DR=ACとなる2点Q,Rを直線BDに対して
点Cと同じ側に取ります。
すると、四角形BQRDはBQ=2, BD=3,　∠DBQ=60°の平行四辺形であり、
また、CQ=AB, RC=DA　となりますから、
　AB+BC+CD+DA = (CQ+CD)+(BC+RC)
となります。
(CQ+CD)と(BC+RC)はそれぞれ3点D, C, Q およびB, C, Rが一直線上にあるとき
最短となりますから、求める最小値は、

　AB+BC+CD+DA = DQ+BR =√7+√19

お礼

回答ありがとうございます
最初はよく分かりませんでしたが、
△ＡＢＤ≡△ＣＱＲなことが、分かったので
理解できました。

回答No.7

naniwacchi

#6です。
たびたびですみません。
質問者さんにも、少し参考になるかと思い追記です。

#3さんの解法ですが、次のような見方をすることもできます。
平行四辺形DBQRは「点Cが動くことのできる範囲」と見ることもできます。
その中で各辺の長さが、平行四辺形の頂点と点Cを結んだ線分の長さになっています。

あとは、#3さんの進められているとおりです。

少しベクトル的な見方が入ってくるところもあるかなと思いました。

回答No.6

naniwacchi

#5です。

＞momordica（#3）さん
わたしがレスするのも、ルール的にいいのかわかりませんが。
もう一度描かれた図を見返しました。
感覚的には、「平行四辺形DBQRの中で、点Cが動いている」という見方をすればいいかと思いました。
それに合わせて、点Aが決められているだけとすれば、60度はキープされていると思います。

そうすれば、点Cが平行四辺形の対角線の交点になるときが一直線上となりますよね。
結果、AP＝ 1、BP＝ 3/2のときで、答えは同じになりそうですが・・・

わたし、計算間違いしているのかもしれませんね。＾＾；

回答No.5

momordica

#3です。
他の回答者さんにレスするのはルール違反かもしれませんが。

> 112233445さんが書かれている方法も #3さんの方法も
> 点Bと点Dが「別々に作図」されてしまっているので、
> 「角APB＝ 60度」がキープされていないことになると思います。

いえ、私の方法ではキープされてますよ。
ちょっと分かりにくかったですかね。

与えられた四角形ABCDについて、ACとBDがどのような長さの比で交わっていようと、
必ず図のような2辺が２と３でその為す角が60°の平行四辺形BQRDができ、四角形
ABCD の4辺の和は、この平行四辺形BQRDの内部の点Cと各頂点を結ぶ線分の
長さの和になります。

ですから、本当はACとBDを60°の角度を保ったまま動かすことで、それに合わせて
平行四辺形が動き、それで点Cと平行四辺形の位置関係が変わるわけなのですが、
逆に平行四辺形BQRDを固定して、線分ACを AC∥L　を保ったまま、
Cが平行四辺形の中に含まれる範囲で動かすと考えてもらっても結構です。
BDとACは常に60°に保たれています。

このようにしてACを動かした場合、求める辺の和が最小となるのは、CがDQとBRの
交点に来た時です。
なおこのとき、#2さんの予想通り、ACとBDはそれぞれの中点で交わり、四角形
ABCDは平行四辺形になります。

なお、質問者さんの方法では、AC'とL、AC''とMの交点をそれぞれB, Dとすると、
BD⊥ACとなってしまうので、明らかに条件を満たしません。

ところで、これまたルール違反かもしれませんが、#1さんが、なぜ辺の平方和を
求めているのかがよくわかりません。
求めろと言われているのは辺の和の最小値ですよね。

回答No.4

naniwacchi

#1です。

112233445さんが書かれている方法も #3さんの方法も
点Bと点Dが「別々に作図」されてしまっているので、
「角APB＝ 60度」がキープされていないことになると思います。

別解の方を計算してみました。
結果は、#2さんの予想どおりです。＾＾

「一度 xを固定して」などと書きましたが、そうすることもなく、
(xと yの 1次式)^2＋(係数)×(xの 1次式)^2＋(定数)

の形に計算できてしまいます。
この式の最小値は √(定数)ですが、これは意味を持ちません。
（各辺の長さの 2乗を足したものなので。）

#2さんの予想どおりですから、上の式も最小値の値も計算できると思います。
結果は、4+ √5となりました。

回答No.2

井口 豊（@Iguchi_Y）

直感です。

形が，いびつにならない，対称形の感じがする・・・

つまり，中点で互いに交わる平行四辺形では・・・

計算は回答１さんのとおり。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

中学校の作図の問題でよくある
「点Aから点Bまで行く間に、川で水を汲んでくるときの最短経路は？」
の手法ですね。鏡映法とも呼ばれたりするかと。

さて、いいアプローチだと思ったのですが、
「角APB＝ 60度」という条件が満たされなくなっているように思います。

＞次に点Ｃを通り、直線Ｌ，Ｍに垂直な直線Ｎを引く。
ということは、対角線ACに対しても垂直な線ということですね。

そして作図により、点Bは直線Lと直線AC 'の交点、点Dは直線Mと直線AC ''の交点ということになりますよね。
このとき、「角APB＝ 60度」とはならないと思います。
ざざっと図を描いてみたレベルなので、勘違いだったらすみません。

で、別解なんですが、
各辺の長さは正になるので、各辺の 2乗の和が最小になることを考える。
という方法があると思います。

具体的には、以下のような感じです。
AP＝ x、CP＝ 2- x、BP＝ y、DP＝ 3- yと 2つの変数で辺の長さを表し、
余弦定理を用いて 2乗の和を x, yで表します。
一度 xを固定して（yだけを変数として）、最小となるときを求め、
その後 xを変数として動かす。

お礼

回答ありがとうございます
余弦定理の計算の方は４つの平方根の和になるけれど、
これは大変かとおもい、図形的に考えていくものだと
思って、いろいろ考えました。６０°は３０°、６０°、９０°の三角形で
使いました。