慣性モーメントの問題です。

質問

慣性モーメントの問題です。

平面で半径a、質量mの円柱を初角速度ωoで転がす。この時、円柱には床からFの摩擦力が加わっている

問題は(1)～(5)まで分けられていて、それまでの(1)～(4)の設問で以下の式を求めました。

並進運動の運動方程式は？→　mv'=-F　　・・・(1)
回転運動の運動方程式は？→　Iω'=aF　　・・・(2)
円柱の慣性モーメントは？　→　I=ma^2/2　　・・・(3)
滑らず転がる条件は？　　　→　ω'a=v'　　　　・・・(4)

(5)は、この４式を基にωを求めよ。というような問題です。
この計算過程で気づいたのですが、(3)を(2)に代入すると、ω'=2F/am、(1)より、v'=F/m
の二式が得られますが、これでは(4)が成り立ちません。

これは、どの式が間違っているのでしょうか・・？
斜面を転がる問題や、円柱に力を加えて転がす問題など、例題を複数調べてみたのですが特別不自然に思えません。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.3

delli7 · ベストアンサー

物理的なイメージが出来てますか？
最初から式ばかり追わず、どんな問題か、どう解くか戦略を立てましょう。

初角速度ωoのみが与えられているので、この円柱は最初に並進速度０、初角速度ωoで空転しています。
（族がホイールスピンさせている感じ）
やがてあるところで滑らず転がるようになります。
（車は走り出し、ホイールスピンが止まるわけです）
このときの角速度を求めよ。という問題です。

どうですか？イメージできましたか？
イメージできると(5)は ω=ωo/2 かなー？なんて勘で推測できちゃいますが
とりあえずちゃんと解きましょう＾＾

ところで(4)は ω'a=v' じゃなくて ωa=v ですね。（滑らず転がる条件なので。）
ω'a=v' も出てきますが１の方が答えてくれた様にこちらは(1)～(3)で導かれるのです。

あと必要な式は ω=ωo-ω't ですね。角速度は減っていくんです。
（ホイルスピンで最初の方が回転が速いイメージ）
=ωo-v't/a
=ωo-v/a
=ωo-ω
移行して 2ω=ωo
ω=ωo/2

お礼

みなさんご回答ありがとうございました。
確認したところ、問題の解釈はdelli7さんの解答の通りのようです。
問題文がわかりにくくて申し訳ありませんでした。

回答No.5

hitokotonusi

前の回答を読んで気になったんですが、

＞滑らず転がる条件は？　　　→　ω'a=v'　　　　・・・(4)

ということですから、ホイールスピンはおきずに転がるということでいいんですよね？

回答No.4

hitokotonusi

面白い問題ですね。色々考えさせられました。
結論からいうと、#2の方の回答で正しいようです。

エネルギーの散逸がない条件で平面で円筒を転がしたら等速、等角速度の運動になるのは容易に予想がつきますので、v'=0, ω'=0で必然的にF=0になります。

角度θの斜面上の問題ではこの摩擦力はsinθに比例するので、水平面でθ=0なら摩擦力も0になり、つじつまはあっています。

この場合並進加速度と角加速度の関係は成立する必要がなく、与えられる初期条件次第です。
なので(4)は条件としては成立しません。（結果としてそうであってもよい。）
摩擦がないということで、宇宙空間で円筒を回転させながら放り出した事を考えればよいでしょう。

現実の問題（たとえば茶筒をちゃぶ台で転がすような場合）では摩擦は0ではなく確かに有限な大きさの摩擦力が働いた状態で転がっていると思いますが、このようなときにどう運動方程式を修正したらいいかはよくわかりません。
おそらく散逸をともなう摩擦力になっているはずなので変形などが関与し、力とトルクが比例しない、つまり、表面上の各原子に働いている個々の力をfiとして（記号はすべてベクトル）

F = Σfi
N = Σ( ri ×fi ) ≠ a × Σfi = a F

となっているのではないかと予想はしていますが、確証はありません。

変形しない事を前提にした剛体の運動方程式そのものが成立していない可能性もあるとは思いますが、近似式としても成立しないほどとは思えないのですが、どうでしょう。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

この場合 F=0, ω'=0, v'=0 ですから矛盾は起きません。

トルクが発生するには別の外力が必要です。

回答No.1

sanori

こんにちは。

たぶん、（１）のＦと（２）のＦの意味が違います。

（１）のＦは、質量ｍの物体（の重心）にかけなければいけない力。
（２）のＦは、回転する物体の外周にかけなければいけない力。
ではないかと。

なので、（１）のＦをＦ1、（２）のＦをＦ2　と書くと、Ｆ1　＝　２Ｆ2　になると思います。

（１）ｍｖ’＝　２Ｆ2
（２）Ｉω’＝　ａＦ2
（３）Ｉ　＝　ｍａ^2／２
（４）ω’ａ　＝　ｖ’

（３）を（２）に代入すると
ｍａ^2／２・ω’　＝　ａＦ2
ｍω’ａ／２　＝　Ｆ2

これを（１）に代入すると
ｍｖ’＝　２・ｍω’ａ／２
ｖ’＝　ａω’
（４）と同じになりました。