楕円について

質問

離心率ｅを学んでいるのですが、長軸の長さaとしたとき、何故焦点は（ae、0）で準線はｘ＝a /　eとなるのですか
？
証明法を教えてください。

回答No.2

keiryu · ベストアンサー

補足になるかどうか？
（1-e~2）χ~2+y~2+2（ke~2-c）χ+（c~2-k~2e~2）＝0これを基に考えます。これを(1)としておきます。
　原点で対称の形にするために、(1)を平行移動して、標準形の式にするわけです。
　そのため、χ＝χ´+α、y＝y´と座標変換するわけです。必然的に、焦点の座標も、直線の位置もαだけずれますから、c´＝c-α、k´＝k-αとなっています。
　その際、k´e~2-c´＝0となるようなαが考えられるということ。具体的にはα＝（ke~2+c）/e~2-1てすが、（なぜこうなるかは考えて見ましょう）この分母が０となってはぐわい悪いから、eの値で場合分けしするんです。

　以下の３行は蛇足。
　e＝1の場合は、k´e~2-c´＝0となるようなαは考えずまた別のα分の移動を考えます。この場合は放物線なりますが。

　このような条件の下で、(1)にχ＝χ´+α、y＝y´、c´＝c-α、k´＝k-αを代入して頑張って計算整理すると、（1-e~2）χ~2+y´~2+（c~2-k´~2e~2）＝0となるってことです。これを(2)としておきます。
　これから先はいいでしょうか。後は見覚えのある式の形にするために、
　c´/e＝k´e＝aとおくと、c´＝ae、k´＝a/eとなりますから、これを(2)に代入すると
χ~2+y~2/a~2（1-e~2）＝1と、見覚えの式になります。これを(3)としておきましょう。
　ここで焦点のχ座標は、c´でしたが、それは３行上に式で、c´＝aeとなってますから、(3)に即して考えると、焦点はaeってことになる。準線はもうお分かりでしょう。

回答No.3

keiryu

(3)の式が間違ってました。
χ~2/a~2+y~2/a~2（1-e~2）＝1です。

回答No.1

keiryu

誰も答えないようなので、

2次曲線は、定点とこの点を通らない1つの直線への距離の比（普通これをeで表し、これを離心率という）が一定なものを言いますね。ここま前提。

定点をＦ（C，0）直線をχ＝kとしておきます。そうすると点（χ，y）とＦおよびχ＝kまでの距離はそれぞれ、√（χ-C）~2+y~2と｜χ-k｜であり、この比がeですから、、√（χ-C）~2+y~2/｜χ-k｜＝eと書き表せます。
これを、ばらして整理すると次のようになります。
（1-e~2）χ~2+y~2+2（ke~2-c）χ+（c~2-k~2e~2）＝0
このeが1か1より小さいか1より大きいかで、放物線になったり、楕円になったり、双曲線になったりします。お尋ねは、式の形から楕円と思われますので、1より小さい場合について書きます。なぜ、eの大小によって場合分けするかは考えてください。

　座標軸の適当な平行移動、χ＝χ´+α、y＝y´によって、標準形にします。
　新しい座標で焦点をＦ（C´，0）、準線をχ＝k´とすると、e＝1でない場合、k´e~2-C´＝0となるαをとることができます。（図を描きながら確かめましょう）
そうすると、当初の式は、（1-e~2）χ~2+y´~2+（c~2-k´~2e~2）＝0となり、
ここで、C´/e＝k´e＝aとおくと、c´＝ae、k´＝a/e
となり、χ´y´をあらためてχ、yと書けば、
χ~2+y~2/a~2（1-e~2）＝1となり、楕円の標準形になります。
ここで、焦点ＦはＦ（C´，0）で、準線はχ´＝k´でした、c´＝ae、k´＝a/eであることからお尋ねのことが大方分かると思いますが・・。
　eが1より小さいと、a~2（1-e~2）の部分が正になり、a~2（1-e~2）をb~2とおけば、ご存知の式になります。eが1より大きいと、この部分が負となり、双曲線になりますね。
　大雑把ですがあとは自分でフォーローしてください。

お礼

回答ありがとうございます。
以下の部分から意味が少々分からないので、補足をお願いします。
>>座標軸の適当な平行移動、χ＝χ´+α、y＝y´によって、標準形にします。
　新しい座標で焦点をＦ（C´，0）、準線をχ＝k´とすると、e＝1でない場合、k´e~2-C´＝0となるαをとることができます。（図を描きながら確かめましょう）