微分の問題について

質問

y＝ｘ^3-ax^2が極値をもつようなaの値を求めよの問題で自分の回答はｙ'=3x^2-2axの判別式がＤ＞０のときだから、4a^2-4(3*0)>0 よってa>0になったのですが、テキストの答えが2/3a≠０ a≠０になっていました。何でこうなるのかがわかりません。自分の回答は間違っているのですか？おしえてください。またこのとき極大値を求めよ。でどのように場合わけするのかわかりませんこれも教えてください。

回答No.5

rinri503 · ベストアンサー

ｙ＝ｘ＾３－ａｘ＾２＝ｘ＾２（ｘ－ａ）
　　これで図をかきますと２とおりの場合が考えられます
　　図１　ｘ＝０で極大値をとり右下で極小値をとる図
　　図２　ｘ＝０で極小値をとり左上で極大値をとる図
　　要するにａが正の場合と負の場合で図が変わります

　　図１の場合ｙ’＝ｘ（３ｘ－２ａ）で
　　　　ｘ＝（２／３）ａ＞０　より　ａ＞０
　　図２の場合
　　　　ｘ＝（２／３）ａ＜０　より　ａ＜０　がでます
　　　したがって　答えは　ａは０でないでいいと思いま　　　す　
　　　また極大値は　図２の場合よりａ＜０のとき
　　　ｘ＝（２／３）ａのとき　ｙ＝－４／２７ａ＾３
　　　ではないでしょうか

　　　テキストの解は、単純に与式から　ｘ＝ａが０でな　　　く、かつ微分した式で極値をとる　ｘ＝（２／３）　　　　ａが　もうひとつの極値をとるｘ＝０と一致しな　　　　い時としているのだと思います

　　これは、上の問題に　さらに　ｔ＜ｘ＜ｔ＋１の間で
　　極値をもつようにとか、もたないようにとかという
　　問題になれば　ｘ＝２／３ａの位置が重要になります　　から

お礼

ありがとうございました。やっとわかりました

回答No.6

mild_salt

No.3です. 本題とは関係ない点ですが, 間違ったことを書いていたので訂正すると, 「2/(3a) ≠ 0 は不成立の式」は嘘で, 「2/(3a) ≠ 0 は常に成立する式」でした.

極値をとる場所についてもう少し直観的な見方を補足しますと, グラフを考えればお解りのとおり, 極値をとるのは「増加から減少に転じる地点, またはその逆」となります.
つまり, 微分可能な関数な場合は, その導関数が「正から負に転じる地点, またはその逆」となりますので, 求めた導関数の「正負が逆転する点」が生じるようなaはどのようなものか？を考えるわけです.

お礼

ありがとございました。やっとわかりました。

回答No.4

denebola

おかしな答えですね。下の方のご指摘通り（2/3）a≠0 は両辺の(3/2)を掛けると、a≠0 になりますので２つに分ける意味がありません。
これまた、下の人の書かれていたことですが、a^2>0 は a<0 の場合でも成り立ちますので（例えば-1<0, (-1)^2>0）、結局 a^2>0 は a≠0 です。
そもそも、答えがこんな形に書かれているのは、ｙ'=3x^2-2ax=x(3x-2a)と変形しろというお告げなのです。極大値に関しては、この変形式をじーと眺めて考えればいいと思います。

お礼

ありがとうございました。やっとわかりました

回答No.3

mild_salt

解答にあった「2/3a≠0」 というのは, 「2/(3a) ≠ 0」でしょうか? 「(2/3)a≠0」でしょうか?

前者であれば, 不成立の式ですし, 後者であればa≠0と同値ですので, いずれにしても解に含める意味がありません.

補足

すいません、回答は「（2/3)a≠0の方です。

回答No.2

eatern27

＞4a^2-4(3*0)>0

まではあってます。

「よってa>0」の部分が間違っています。

「a^2>0ならばa>0」は成立しませんよね？

お礼

ありがとうございました。やっとわかりました

回答No.1

chopsticks

yを微分し，y'＝０となるときのｘが極値のx座標です．
あとは，増減表を考えれば極大，極小は判別できます．
y'＝０のときのｘが存在するようにａの範囲を考えれば
おのずと答えは出てきます．
自分自身でがんばってみてください．

お礼

ありがとうございました。やっとわかりました