アルキメデスの定理

質問

「2つの量0＜U＜Vが与えられたとき、ある自然数ｍでｍU<Vである。」と「2つの量0＜U＜Vが与えられたとき、0＜V1＜1/2V、0＜V2＜1/2V1・・・となるViを次々と取っていくと、ある番号ｎでVn＜Uとなる。」が必要十分であることを示したいのですが、分かりません。
背理法を使って解けそうなんですが、なかなか矛盾を導く前に良くわからなくなります。
至急教えてください、

回答No.2

mild_salt · ベストアンサー

No. 1です.
ならば, 前者の条件は
「0<U<Vならば, あるmがあって(1/m)V < U」となりますね.

一方, 後者の条件のようにViをとれば, 0 < Vi < (1/2^(i-1))V となりますから, あとは, 1/m と 1/(2^(i-1)) を比較していけばよいのではないでしょうか.

例えば, 前者⇒後者は,
「(1/m)V < U」 ならば, あるnがあって「(1/2^(n-1))V < U」
すなわち,
任意のmに対してあるnがとれて「1/2^(n-1) < 1/m」
とできることを示せばよいわけです.

回答No.1

mild_salt

「2つの量0＜U＜Vが与えられたとき、ある自然数ｍでｍU<Vである。」
は,
mU>Vである
の間違いではないでしょうか？

補足

間違えでした。ｍU>vです。