数列 漸化式

質問

教科書を参考にしても、以下の四問が分からなくってかなりあせってます。答えまで導いていただいたら幸いです。よろしくお願いします！！

　次の漸化式で表された数列の一般項ａ(n)を求めよ
(1)　ａ(1)＝１、ａ(n+1)＝ａ(n) / ａ(n)＋1

(2)　ａ(1)＝１、ａ(n+1) / ｎ＋１＝ａ(n) / ｎ　＋２

(3)　ａ(1)＝１、ｎ・ａ(n+1) ＝(ｎ＋１)・ａ(n) ＋ ｎ（ｎ＋１）

(4)　ａ(1)＝３、ａ(n+1) ＝ ３ａ(n) ＋ ３のn+1乗

回答No.1

saimonia · ベストアンサー

(1)では両辺の逆数をとりましょう。すると

1/ ａ(n+1)＝ａ(n)＋1/ ａ(n)＝1＋1/ａ(n)となります

1/ａ(n)という数列はこの式から公差1、初項1の等差数列と分かるので
1/ａ(n)＝n　つまり　　ａ(n)＝1/n　です

(2)ではａ(n) / ｎという数列は公差2、初項1の等差数列です。(分かりにくければａ(n) / ｎ＝b(n)とおくと分かりやすいと思います。b(n＋1)＝b(n)＋2になります)
ａ(n) / ｎ＝2n-1　よって　ａ(n)＝n(2n-1)

(3)では両辺n(n＋1)で割りましょうすると

ａ(n+1) / ｎ＋１＝ａ(n) / ｎ　＋1になります
あとは(2)と同じように解いてください。
おそらくａ(n)＝n^2(nの2乗)だと思います

(4)では両辺３のn+1乗で割りましょうすると

ａ(n) / ３^nは初項1 公差1の等差数列となるので
後は計算してください　　ａ(n) ＝ｎ・３＾ｎです

お礼

分かりやすい解き方ありがとうございました。これで解決してすごく感謝してます！