サインとコサインは微積分からみると群？

質問

よく分からないのですがサインとコサインは微分や積分するとお互いに変わるようですので群と呼ばれるものをつくっているのでしょうか。またこのような関係にある関数はほかにもあるのでしょうか．

回答No.1

betagamma · ベストアンサー

おもしろい質問ですね。数理工学科の大学三年で、群などについて習っているのに今まで考えたことがありませんでした。
えーっと、群になるためには、
(1)結合法則
a+(b+c)=(a+b)+c
(2)単位元の存在
単位元eがあって、∀a∈G,a+e=a
(3)逆元の存在
∀a∈G,∃(-a)∈G,a+(-a)=e
となっていなければなりません。
で、∫cos x dx=sin x, ∫sin x dx=-cos xなので、
G={sin x,cos x,-sin x,-cos x}
という集合を考えると、積分という一項演算子に関して、well-defined（Gに含まれるどの元をとってきて、積分しても、その結果がGに含まれる）ことは成り立っていますが、群にはならないのでは？と思います。

そもそも、群は、二項演算子に関する話で、積分は一項演算子の話なので・・・

お礼

どうもありがとうございました．勉強してみます．

補足

サインを１、コサインをiとしてiをかけることを積分するということと対比させると似ているようですが、虚数単位というのも群にはならないのですか．

回答No.2

mmky

直行関係ですね。直行因子というほうがいいのかもですね。

お礼

ありがとうございました。勉強してみます．

補足

直行は直交のことですか？