フーリエ変換

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86
このページの下にあるフーリエ変換のやり方を教えていただきたい。部分積分でもできないし、特殊関数でも使うのかな？

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

これは納得しにくいと思います。3次元ベクトルの内積を<k,r>のように表すことにします。
　1/r = (1/Ω) Σ f(k)exp(i<k,r>) 　(kについての和)
とします。両辺にexp(-i<k',r>)をかけて座標で積分すると
　右辺 = f(k')
　左辺 = ∫(1/r)exp(-i<k',r>) r^2 sinθdθdφdr
θの積分は置換積分で行うことができて、
　　∫exp(-ik'r cosθ) sinθ dθ = (2/k'r) sin(k'r)
よって
　左辺 = (4π/k')∫(0～∞)sin(k'r)dr
　 = (4π/k'^2)∫(0～∞)sin(r)dr
となります。この積分は普通に計算すると収束しません。しかし、ある意味で
　∫(0～∞)sin(r)dr = 1
と考えることができます(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=994888　参照)。よって
　f(k) = 4π/k^2
これが 1/r のフーリエ変換です。

補足

回答ありがとうございます。
まだよく分からないことがあるのですが、
1/r = (1/Ω) Σ f(k)exp(i<k,r>) 　(kについての和)
とします。
これはフーリエ変換の定義でよろしいのでしょうか？

両辺にexp(-i<k',r>)をかけて座標で積分すると
　右辺 = f(k')
この計算がよく分かりません。
たびたび質問してごめんなさい。回答よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck

一辺の長さがLの立方体状の領域を考えると、
　g(x,y,z)=g(x+L,y,z)　（ｙ、ｚについても同様）
を満たし、可積分な周期関数は
　g(x,y,z)= (1/Ω) Σ f(k)exp(i<k,r>)
　(k=2πn/L, n=0,±1,±2…)
のようにフーリエ展開できます。するとexp(i<k,r>)の直交性から
　∫exp(-i<k',r>)exp(i<k,r>)dV=0　(k≠k'のとき)
　∫exp(-i<k',r>)exp(i<k,r>)dV=Ω　(k＝k'のとき)
となります。そこで (1/Ω) Σ f(k)exp(i<k,r>) にexp(-i<k',r>)をかけて座標で積分すると f(k')になります。