ウェーブレット変換ってなんですか？

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E5%A4%89%E6%8F%9B

ウェーブレット変換について教えて下さい。

wikiによれば、フーリエ変換で失われる時間領域（時系列）を残すことが出来る変換であると書かれているのですが、
これってどういうことなのでしょうか？
ウェーブレット変換の概念についてどなかた分かりやすく説明して頂けないでしょうか？
或いは平易なことばで説明してある書籍を教えて下さい。

回答No.2

gootone · ベストアンサー

Ｎｏ．１のご回答の言い換えになるかもしれませんが、
フーリエの場合、ある波形を無限に連続する正弦波で
表現しますよね。出てくのは、変換した時点での
周波数成分だけ。
　時間がたつにつれて急激に変化する波（例えば
地震の振動とか）をフーリエ変換で解析しようとすると、
フーリエ変換を時間をずらしながら何度もすることに
なる。

　だからもともと時間的に制限された長さの
波、つまりウェーブレットをその振幅や
周期を変えながら時間軸上を移動させて
波形を分析して聞くと、分析したい波の
時間経過に従った変化を分析できる、
これがウェーブレット変換。

回答No.1

foobar

フーリエ変換では時間が失われる
フーリエ変換では、時間変化する信号f(t)をsin(wt)やcos(wt)に分解します。で、周波数wの成分がどれだけあるか、で表しています。（時間の情報は残ってない）
sin,cosはt=-∞から∞まで均一に続く周期関数なので、例えば、f(t)と、こいつを時間Tだけずらした信号f2(t)=f(t-T)の両方をフーリエ変換しても、（振幅を見ている分には）区別はつかない、というような状況になります。

そこで、sin,cosのように均一な周期関数ではなくて、例えば10周期の正弦波、
(0<(t-T)<20π/wの範囲で、w1(t)=sin(w(t-T)),w2(t)=cos(w(t-T)),それ以外の範囲では0）
に分解する、という具合にすれば、変換した後の関数は、G(w,T)と時間の情報Tも残ったものになります。
これをもっと数学的にきちんと整理（w1,w2にきちんと直交性が保たれているものを用意する）したのがウエーブレット変換です。

大雑把には、こんな感じです。