お知恵を拝借。。。

質問

数学をやらなくなってしばらくたちます。が、分け合って数学のテストをうけることになったので、とりあえず手元にあった問題を解いてみているのですが、つまずきました。とき方を教えていただければと思います。

多項式P(x)を(x-3)で割るとあまりは3になり、(x+4)で割るとあまりは-4になるとき、P(x)を(x-3)(x+4)で割ったときのあまりを求めよ。

a+b=1 のとき、a2+b2>ab　であることを証明せよ。（『a2』はaの二乗のつもりでかきました。）

回答No.1

springside · ベストアンサー

この手の問題は、教科書や問題集にそのまま載ってませんか？

(1)
P(x)を(x-3)(x+4)で割った商をQ(x)、余りをax+bとおくと、
　P(x)=(x-3)(x+4)Q(x)+ax+b　（※）
である。題意により、
　P(3)=3, P(-4)=-4
なので、※より、
　P(3)=3a+b=3
　P(-4)=-4a+b=-4
よって、a=1, b=0となるので、求める余りはx

(2)
（aの2乗は、a^2と書きます。）
b=1-aなので、
a^2+b^2-ab
=a^2+(1-a)^2-a(1-a)
=3a^2-3a+1
=3(a^2-a)+1
=3(a-1/2)^2 + 1/4 ＞ 0

よって、a^2+b^2>ab

お礼

なるほど。よくわかりました。本当にありがとうございます。

＞この手の問題は、教科書や問題集にそのまま載ってませんか？

そうだと思います。が、手元に教科書も問題集もないのです。２０年ぶりに頭をつかっています。