電気磁気

質問

h<0のとき、Pから円形コイルを見込む立体角ωを求めよ。で答えが2π(-1-h/(a^2+h^2)^1/2)なのですが、計算過程がわかりません。解説お願いします。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

図のような、点Cを中心とする半径1の球を考えます
この球の、半径sinθの円の断面(黄色円)を底面とし、
Cを頂点とする円錐を考えると、
図の球の直径と緑線のなす角度はθです
この場合、Cから見て、黄色円によって隠れる球面(黄色断面によって右側に切り離される立体の曲面部分)の面積をSとしてあげると
Cから円錐の底面(黄色円)を見込む立体角Ω(θ)は
Ω(θ)＝S/半径²＝S/1²＝S
なので、まずはSを求める事にします

図のように、黄色の半径と微小な角度dθをなす青の半径を考えて、青の半径と球面の交点を含む黄色円に平行な赤円を考えると
角度dθが極めて小さいために
黄色円と赤円の半径は、(ほぼ)等しいとみなせ
ともにsinθとなりますから
両円の円周の長さは、ともに2πsinθであり
赤円の断面と黄色円の断面で切り取られる部分の
曲面の面積は　2πsinθdθ　です
これを元に積分計算して
S＝∫[0〜θ]2πsinθdθ
＝2π(1−cosθ)
ゆえに、
Ω(θ)＝S/半径²＝S/1²＝S＝2π(1−cosθ)
これはつまり、底面の半径がsinθで高さがcosθの円錐の頂点の立体角は
Ω(θ)＝2π(1−cosθ)である事を示しています

これを踏まえ、ご質問の問題では
高さが−h
底面の半径がaの円錐の頂点から見込む立体角を求めよ、と言う事ですから
先ほどの円錐の拡大または縮小コピー(相似)を考えて立体角を求める事にします

先ほどの円錐の底面の半径がsinθからaに
高さがcosθから−hに拡大(または縮小)されたとみると
相似比は
半径:高さ＝sinθ:cosθ＝a:−h
このことから
cosθ＝(−h/a)sinθ
また、sinθ＝a/√{(−h)²+a²}
ゆえに求めるべき立体角ωは
ω＝2π(1−cosθ)
＝2π{1−(−h/a)sinθ}
＝2π{1−(−h)/√{(−h)²+a²}}
となります

お礼

丁寧に解説して頂きありがとうございました！
とてもよく理解できました！