三角関数について教えてください。

質問

sinθ＝5/3のとき、cosθとtanθの解が±になるのはどうしてですか？　基本的なことがわかっていないのでやさしく教えてくださいませ。

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

sinθ＝5分の3でしょうか
(補足説明:
分数は、分子/分母　と表記しますので
5/3＝3分の5＝1.66666となりますが、
sinθは1を超える事はないので
sinθ＝3分の5は成り立ちません)
5分の3なら
三角関数表をみてもらうとわかりますが
θはだいたい37度の角度となります
θ＝37度なら
cos37＝正の値
tan37＝正の値
となることは三角関数表からおわかりになるかと思います

次に単純化するため、θは0〜360度の範囲に限定してお話します
(参考:
πラジアン＝180度、2π＝360度というように、ラジアンと度の間には比例関係があります)、
公式により
sin(180-θ)＝sinθです
ここにθ＝37を代入すると
sin(180-37)＝sin37(＝3/5)
であり
sin(180-37)＝sin143(＝3/5)
と言う事も言えます
ゆえに、sinθ＝3/5なら
θ＝143の可能性もあります
(このことは、単位円の使い方をマスターすれば単位円からもわかります)

ここで先日解説した、三角関数の定義と単位円について思い出して下さい
単位円において、
θ＝37度となるように半径OPを書いて
θ＝143度となるように半径OQを書いてもらうと
PとQはy軸に関して線対称です
ゆえに、
マイナス(Pのx座標)＝Qのx座標
Pのy座標＝Qのy座標
ですから
cos143＝Qのx座標＝-(Pのx座標)
＝-cos37
となり
θ＝143である場合はcosθ(＝cos143)がマイナスの値になるわけです

そして、
Qのy座標＝Pのy座標ですから
tan147＝Qのy座標/Qのx座標
＝Pのy座標/{-(Pのx座標)}
＝-(Pのy座標/Pのx座標)
＝-tan37
となり、θ＝143の場合はtanθの値もマイナスの値になるのです

以上のことから、θ＝37度と143度の2つに分かれるので
cosとtanの値の符号が複数になると事がおわかりになられたかと思います

お礼

ご指摘の通り、sinθ＝五分の三でした。/を分かったつもりで使って間違えました。説明がよく理解出来ました。有難うございました。

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回答No.1

kiha181-tubasa

これからの説明の理解を確実にするために，三角関数の定義を確認します。いろいろ定義の仕方はありますが，それらは結局同じことを言っている（数学では「同値」と言います）ので，最後に学習する定義を書きます。それは次の通りです。
xy平面上に原点を中心とする半径１の円を考えます。（この円を「単位円」と言います）
この円周上に点Ｐをとり，半径ＯＰがｘ軸の正の向きとなす角をθとします。もしθ＝0°ならば点Ｐはｘ軸上にあることになります。
さて，点Ｐの座標を (x, y) とするとき
sinθ=y, cosθ=x, tanθ=y/x
と定義されています。
（これから，tanθ=sinθ/cosθ, (sinθ)^2+(cosθ)^2=1などの成り立つ理由もわかります）

質問の回答に移ります。
sinθ=5/3
のときは，sinθ＞0ですから，sinθ=yからy＞0ですね。
つまり円周上の点Ｐのｙ座標はｙ＞0ですから，点Ｐは第１象限と第２象限に存在します。
点Ｐが第１象限の点の場合はｘ＞0ですから，cosθ=x＞0，tanθ=y/x＞0となります。
点Ｐが第２象限の点の場合はｘ＜0ですから，cosθ=x＜0，tanθ=y/x＜0となります。

ということでsinθ=5/3＞0が与えられたときには，cosθ,tanθの値は正と負の両方が出てくるのです。

お礼

有難うございました。

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