三角関数の応用問題

質問

π/4≦2x＋π/4≦(5/4)π▪▪▪①
①より、－1/√2≦sin(2x＋π/4)≦1
となるのが分かりません。
誰か解説をお願いします。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

π/4≦2x＋π/4≦(5/4)π▪▪▪①
2x+π/4＝θとおくと
π/4≦θ≦(5/4)π▪▪▪①′
そしたら、ここで単位円を利用するか
sinθのグラフを見て下さい
sinπ/4＝1/√2＝√2/2
ここから、θを徐々に大きくしていくと
sin(π/3)＝√3/2
sin(π/2)＝1
というように、グラフなどからsinθの値は増加して行くことがわかります
しかしπ/2を境にsinθの値は減少に転じます
sin(2π/3)＝√3/2
sin(3π/4)＝√2/2
sinπ＝0
というように
そして、sinθは更に減少を続け、マイナスの値を撮るようになります
で、θ＝(5π/4)のとき
sinθ＝sin(π+π/4)＝-sin(π/4)＝-1/√2となります
(sin(π+π/4)＝-sin(π/4)がすぐに導けない場合は、加法定理sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβにα＝π、β＝π/4を代入して求める
そして、後で単位円について特訓するようにしてください)
これ以上θは大きくならないので、これがsinθの最小値と言う事になります

以上より、sinθは-1/√2から1までの値を取る事になります
ゆえに－1/√2≦sin(2x＋π/4)≦1です

お礼

回答ありがとうございます！ とても分かりやすかったです！

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