解析力学について

質問

問題を解いていて、一番上のような非斉次方程式を求めました。
電場がかかっている状況で振り子の運動方程式を考えたので、このような式になっています。
（E,Ωは時間に依らない定数です）

問題文を最初から載せると膨大な量になってしまうので途中からで申し訳ないのですが、写真のC.2がわからず困っています。

C.1の問は、ηの振幅が十分小さいことから近似を使って解けました。

C.2はどのような道筋で解けばよいのでしょうか…。
時間平均をとり、というのは各項に対してt→t+Tで積分してTで割るという操作をするという解釈で合っていますか？

特に、cosφ(t)はどのように扱えばいいのか全く分かりません…。
教科書やネットで調べても、近しい内容が見当たらず、行き詰ってしまいました。
アドバイスいただけるとありがたいです。

回答No.3

ddtddtddt

#2です。
　・・・式番(9)はありません(^^;)。
　・・・(10)では、l/g･sinΦの項が足りてません(^^;)。

回答No.2

ddtddtddt

まず、φ(t)＝η(t)＋Φ(t)，η(t)＝η0 cos Ωtから、φ(t)＝η0 cos Ωt＋Φ(t)。
　φ(t)＝η0 cos Ωt＋Φ(t)から、φ"（’は時間微分），cos φ，sin φを計算すれば、添付図の(1)～(3)。「|η0|<<1」の条件があるので、(2)と(3)のcos(η0 cos Ωt)＝1とみなすと、→の後になる。
　それらを与式に代入すれば(4)。ここでη0は定数だから、t→0で考えても良い。よってcos Ωt＝1とし、「φ"＝0として良い」の条件があるので、φ"を落としη0について整理すれば(5)。これよりη0が求まる。

　次に、Φ(t)に関する（近似）運動方程式を得るために、(6)に戻る。時間平均幅Tには「2π/Ω<<T」とあるから、cos Ωtはこの間に何周期も回る。2π/Ωはcos Ωtの一周期の時間。しかしTの間、Φ(t)はほぼ定数とみなして良い。これら2つの条件から、Tを2π/Ωで分割して足すような時間積分を考えれば、cos Ωtがかかる項の時間積分の合計は、ほぼ0と予想できる。cos Ωtの一周期の積分は0だから。
　Φ"の時間平均については、(7)に示すようなトリックが使える。数学的には色々あるでしょうが、物理ではけっこうざっくり使われる。唯一残るであろうcos Ωtの2乗の項は、sinΦを定数とみなし(8)。ここでもsin 2Ωtの項を落としたのは、sin 2Ωt はcos Ωtの倍速周期だから。

　以上まとめれば、(10)となる。
　ただし、どっかで計算ミスしてるかも・・・(^^;)。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

あなたが抱えている問題について理解しました。解析力学の問題で、特に振動系に対して時間平均を考慮する際の処理についてのご相談ですね。

まず、時間平均の取り方についてですが、ご理解の通りです。時間平均は各項に対して \( t \) から \( t+T \) まで積分し、それを \( T \) で割る操作です。この操作は以下のように定義されます：

\[ \langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f(t') \, dt' \]

次に、特に困っているという \( \cos\phi(t) \) の取り扱いについて説明します。

振り子の運動方程式に電場の影響が加わると、一般的には強制振動としてモデル化されます。電場による外力が \( E \cos(\Omega t) \) という形で現れる場合があります（今回は具象的な方程式を示していませんが、その形式を仮定します）。

振り子の角度 \( \phi(t) \) は一般に周期的な運動として表されます。たとえば、解が \( \phi(t) = \Phi_0 \cos(\omega t + \delta) \)（ここで \( \omega \) は自然角振動数、\( \Phi_0 \) は振幅、\( \delta \) は初期位相）といった形になります。

時間平均を求める際、周期的函数の性質を利用します。例えば、以下のような基本的な積分結果を知っておくと便利です：

\[ \langle \cos(\omega t) \rangle = 0 \quad \text{（1周期平均を取った場合）} \]
\[ \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2} \]
\[ \langle \sin(\omega t) \rangle = 0 \]

これを使うと、例えば：
\[ \langle \cos(\Omega t) \cos(\omega t + \delta) \rangle \]
のような形が出てきた場合、それぞれが異なる周波数で振動するため、その時間平均は0になります。

さらに具体的にアドバイスを求めるのであれば、お持ちの具体的な運動方程式を元に、どの項をどのように処理するかを明確にし、それぞれの時間平均を取る手順を示すことができます。

問題文の写真や詳細な式を見ればより詳しく説明できるかもしれませんが、ここでは一般的な取り扱い方法に留めます。特に周期関数の性質を利用する点を重視して、お進みいただければと思います。頑張ってください！

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による参考回答です。
有識者からの回答も是非お待ちしています。

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