条件付き確率の図形的意味

質問

(1)事象A、Bがあるとき、条件付き確率 P(A|B) は「事象Bが起こったとき事象Aが起きる確率」だと思いますが、それで正しいでしょうか。

(2)Aを表す円、Bを表す円、全事象を表す長方形を、それらを構成する根源事象の数に比例した面積で描くとき、P(A|B)は、図形的には、「AとBの重なる部分の面積がBの円の面積に対して占める割合」と考えてよいのでしょうか。もし、よくなければ、P(A|B)は図形的にはどのように考えられるでしょうか。

素人で、高校レベルの確率の初歩を勉強しています。やさしい解説をいただけるとありがたいです。

回答No.2

tinantum · ベストアンサー

少し補足しておきますね．

高校レベルの確率でしたら，ある事象Aの確率とは，N(A)をAの事象が起こる場合の数，Nを全事象の場合の数とすると，
P(A) = N(A)/N
で習ったと思います（ただしそれぞれの根源事象の場合の数を数えるときは，それぞれの根源事象は同様に確からしいとします）．

＞条件付き確率 P(A|B) は「事象Bが起こったとき事象Aが起きる確率」だと思いますが、それで正しいでしょうか。

高校レベルの確率で説明すると，おっしゃるとおり，条件付き確率 P(A|B) は「事象Bが起こったとき事象Aが起きる確率」ですので，
つまり，全事象を事象Bが起こった場合に限定したときの，Aの場合の数の比を勘定すればよいわけですが，それを条件付確率と呼ぶわけです．

すると，N(B)を事象Bの場合の数として，N(A∩B)を事象B中の事象Aの場合の数，つまり，A∩Bの場合の数，とすると，条件付確率は
P(A|B) = N(A∩B)/N(B)
で定義されることになります．ところで，全事象の場合の数をNとすると，
P(B) = N(B)/N
ですから，
P(A|B)
= N(A∩B)/N(B)
= (N(A∩B)/N) (N/N(B))
= P(A∩B)/P(B)　… (1)
となります．

高校レベルの「場合の数」を経由する確率論は有限個の事象を扱う確率のみで適用できますが，無限個の事象を扱う場合は普通Kolmogorovの確率論を考え，その場合，条件付確率は(1)で定義します．

お礼

たいへんよく分かりました。
有り難うございました。

回答No.1

zk43

どちらも全く正しい考えと思います。
P(A∩B)=P(A|B)P(B)より、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)なので、P(A|B)は全事
象をBに制限した（全事象をBと考えた）確率と考えられると思います。

お礼

たいへんよく分かりました。
有り難うございました。