長方形の周囲を反対方向に動く動点（算数）

質問

Q→
　　 A┏━━━━━━━━━━━━┓D
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　 P┃　　　　　　　　　　　　┃
　 　↓┃　　　　　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　 G┣━━━━━━━━━━━━┫H　一致した瞬間
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　　　　　　┃
　　 B┗━━━━━━━━━━━━┛C

　P はAから左回りに 7cm/s の速さで動く。
　Q はAから右回りに 3cm/s の速さで動く。
　AD = BC = 22cm、AB = DC = 26cm とする。

　P と Q が同時刻にスタートしてから最初に PQ と AD が平行となるまでの時間を求めよ。

　周囲の距離をLとすると
　　L = 2(22+26) = 96
　PQ と AD が平行となったときの P、Q までの距離を G、H で表す (AG = DH)。
　P は m 回転して G に達し、Q は n 回転して H に達したとする。
　　P の進んだ距離は mL + AG、所要時間は (mL+AG)/7
　　Q の進んだ距離は nL + AD + AG、所要時間は (nL+AD+AG)/3
　　(mL+AG)/7 = (mL+AD+AG)/3
　　3(mL+AG) = 7(mL+AD+AG)
　　3mL + 3AG = 7mL + 7AG +7AD
　　L(3m-7n) = 4AG + 7*22
　　3m - 7n = (4/96)AG + 154/96
　　 = (2AG+77)/48

　ここで行き詰ってしまいました。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

3m - 7n = (2AG+77)/48
ここでm、nは正の整数ですから2AG+77は48の倍数でなければいけません。0≦AG≦26であることも考慮すればAG=19/2です。
3m - 7n = 2
これを満たすm、nは
m=3+7k
n=1+3k
ですが、最初の時間を求めるのですからm=3、n=1を採用します。
所要時間は(mL+AG)/7=(3*96+19/2)/7=42.5
(nL+AD+AG)/3=(1*96+22+19/2)/3=42.5でもいいです。

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.5

maskoto

訂正

先程のt＝14から調べて行く方針ですと
t＝１6で
QがC上に来ます
このとき、PはBの手前10センチの位置
t＝１8には両点ともBC上ですから
初めて、AD平行PQが起きるのは
t＝１6のあとで、PがBに到達するときとなりそうです
それは、t＝１6+(10/7)＝17+(3/7)のときだと思われます

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

回答No.4

maskoto

補足
先程のt＝14から調べて行く方針ですと
t＝１6で
QがC上に来ます
このとき、PはBの手前6センチの位置
t＝１7には両点ともBC上ですから
初めて、AD平行PQが起きるのは
t＝１6のあとで、PがBに到達するときとなりそうです
それは、t＝１6+(6/7)のときだと思われます

回答No.3

maskoto

パット見ですが、
m＝7/3n
という条件で解決するかもしれませんね
それでも、だめなら
PがDC上にあり、QがAB上で
平行と言うのを見落としているのかもしれません
その他にも、PQがBC上にあり平行というのもあり得る事に留意です

そもそもの話しをしてしまえば、算数なので、不定方程式が登場するような考え方でなくて解くのだと思いますよ

PはQの7/3倍の速さ(ざっくり2倍の速さ)…①
だから、Pの一周目には平行は起きないと目星がつく
Pが一周してAにある時、①からQは大体半周していてCの手前にあるとわかる
Pが一周半してCにあるときQはBの少し先(Qは９/１４周)
このことから、Pが一周〜一周半するまでの間に平行が起きると踏んで
t＝１４秒あたりからの、両点の動向を調べて行って答えを出すのが一策かと思います

回答No.1

gamma1854

一周に要する時間は、
P ... 96/7 (sec), Q ... 32 (sec).
Pの一周目に、AD//PG とはならないい。出発t秒後, Pの２周目に AD//PG になるとすると、
7t - 96 = 3t -22 より、t=18.5 (sec).
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このとき、
AP=DQ=33.5 となる。