中３ 数学

質問

3x-y=2x+yのとき、
x^2-y^2/x^2+3xy+2y^2 の値を求めなさい
ただし、x,yは０ではない数とする

という問題の解説なのですが、赤線の部分が特にわからないです
教えていただけないでしょうか

回答No.4

applydisappear · ベストアンサー

「文字式で割る」という状況が生じた時は必ず注意してください。

この問題の場合は、x+yが0でないことを確認しているので、x+yで割ることができます。

よくいるのですよ。確認せずに0で割る。引っかかってくれるので、出題者側も喜んで出題します。そこで差が開きますから。例えば、こういう問題を出すとする。

Ｑ：xとyは式「x-1=(x-1)(y-1)」を満たす実数である。この時、yの値を求めよ。

（誤答）
両辺をx-1で割る。すると、次の数式が出来上がる。
y-1=1
よって、この方程式の解はy=2である。

もちろん、この答えはバツです。x-1が0、つまりx=1の場合はそもそも割ってはいけない。ちなみにx=1の時は、x-1=0となりyがどんな値を取っても0になるので、

x=1の時は、yは全ての実数
x=1でない時は、y=2

これが答えとなります。これで引っかかってくれる人が多数いるので、差をつけたいときに１問混ぜてやれば、しっかりと差が開くわけです。出題者側からすれば、おいしい問題ですよね。

お礼

ありがとうございました！
これを使ったひっかけ問題もあるのですね、覚えておきます
ためになりました！！

回答No.8

f272

約分するときは0で割らないようにしましょう、ということを注意したいのだろうが、そもそも分数式を書いている時点で分母は0でないことが仮定されています。x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)は0でない、つまり(x+y)も(x+2y)もどちらも0でないことは初めからわかっています。#5さんの言う通りです。
x=2yから
(x^2-y^2)/(x^2+3xy+2y^2)
=(4y^2-y^2)/(4y^2+6y^2+2y^2)
=(3y^2)/(12y^2)
=1/4
です。

お礼

0で割ってはいけないことがこんなにも重要だとは思いませんでした...！
ありがとうございました！

回答No.7

kiha181-tubasa

そもそも「x+yでわることがいえる」が変ですね。
「x+yでわることができる」が正しい表現だと思います。

さて，ここのポイントは「わる数は0であってはいけない」という事からきています。このような「わる数が0であるか否かを確かめる」作業は高校の数学になると頻繁に出てきますので，慣れておくのは良いことです。

なぜ0で割れないか？
ax=bのとき，機械的にx=b/aと書きたくなりますね。ところが次のようにa=0の場合を考えてみましょう。
0*x=2　……①
0*x=0　……②
を考えてみると
①では，こんなxはありませんね。つまり解なし。言わば2/0は，あり得ない数。
②では，どんなxも②を満たしますね。つまりすべての数が解になります。言わば，0/0は定まらない数。
ということで，割る数は0であってはいけない，分母は0であってはいけないとなるのです。

お礼

0かどうかを確かめることはこれから先でも大切なのですね、どんどん複雑になっていきそうです
ありがとうございました！！

回答No.6

chie65536（@chie65535）

文字式の分数を約分する際は「約分して消える部分が０であってはならない」という「お約束」があります。

解説部分では、約分して「（ｘ＋ｙ）」を消す前に「ｘ＋ｙが０でない事」を確認しています。０だったら「消せない」ので。

お礼

同じような問題を解く際に見落とさないようにしたいです
ありがとうございました！！

回答No.5

maskoto

まず知って置かなければならないことをは、
数学では0で割り算するとどうなるの
と言う事が決められてないと言う事
つまり、ざっくりと言って、0で割り算してはいけないと言う事です
また、分数の分母を0にしてもいけません…①

でも、この問題を解くにあたって、
赤線の部分に書かれていることは、不適切です→赤線部分を書く必要は全く必要ありませんし、従って赤線に書かれていることを理解できずとも気にする必要はありません

というのは
・模範解答の途中式で因数分解してるが、x+y≠0を確認する必要は全くない
(因数分解と割り算は無関係だから)
・途中式の分母に、(x+y)があるが
もしこれが0なら分母＝0となり①に違反することになる→このことから、(x+y)は0ではないことは明らか
→(x+y)≠0をx+y＝3y経由で確認する必要もない
・途中式に、約分(約分することは割り算することになる)があるが
今までに0で約分なんていうのに出会ったことはないハズ
→
分母は因数に0を持たないから、0で約分なんてないのはあたり前
→分数の約分(約分の割り算)で、0での約分がないのだから
約分するx+yが0か否かなんて確認は必要ない
というわけです

で、因数分解する所や、更にその続きの式についてはわからないところはありますか？

お礼

お礼が遅れてしまいました...
ご丁寧にありがとうございます！！無事理解できました！

回答No.3

Nakay702

＞赤線の部分が特にわからないです 教えていただけないでしょうか
⇒以下のとおりお答えします。
赤の下線部分は、次のようなことを言っています。

与式より、ｘ＝２ｙなので、ｘ＋ｙ＝２ｙ＋ｙ＝３ｙとなります。
３ｙ≠０ですから、ゆえに、ｘ＋ｙ≠０ででもあります。
ということで、式の変形途中で、ｘ＋ｙを分数の分母にできる（すなわち、ｘ＋ｙで割り算できる）ことが明らかになりました。

そこで、因数分解を利用して…、あとはお分かりとのことですので略します。

お礼

似たような問題を解くことになった際に活用できるようにしたいです
ご丁寧にありがとうございました！

回答No.2

4500rpm

0で割るのはだめだから。
正確には、「計算（演算）が定義できない」から

お礼

調べましたが小学校で0で割ってはいけないことは習ってたみたいです...!
わざわざ0ではないかを確認する理由も理解できました！
ありがとうございました！

回答No.1

jack-a3

3x-y=3x+yを変形してx=2yになるのり分かるますか？
x=2yが成り立つのは、xとyが両方とも0の時か、yがxの2倍の時ですが問題よりxとyは0でないことが示されてます。
なのでx+y=2y+y=3yになり、yは0じゃないので3yも0じゃない。0じゃないので分母にして割り算をしても大丈夫。
赤線の部分は上記のことを言ってます。

お礼

問題文にわざわざ０ではないと書いてある理由に納得できました！！
ありがとうございました！