数学

質問

新卒、就活、地方中小企業の事務•営業職志望で今日受けた適性検査の問題の答え、解説をお願いします。

あと、難易度はどれくらいでしょうか？理系の人や、大企業に受かる人なら、簡単ですか？
問題は以下の通りです。

地下水を貯水場A,B,Cに分配する。

貯水場Aの水の量は、前日の貯水場Aの水の量の3/4と、前日の貯水場Bの水の量の1/8を足した量である。

貯水場Bの水の量は、前日の貯水場Aの水の量の1/4と、前日の貯水場Bの水の量の3/4と、前日の貯水場Cの水の量の1/4を足した量である。

貯水場Cの水の量は、前日の貯水場Bの水の量の1/8と、前日の貯水場Cの水の量の3/4を足した量である。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)4/22日の貯水場A,B,Cの水の量がそれぞれ4L,8L,8Lであるとき、4/23日のA,B,Cそれぞれの水の量を答えなさい。

(2)4/24日の水の量を答えなさい。

(3)4/22日の貯水場A,B,Cの水の量をx L,y L,zLとする。
4/23日の貯水場A,B,Cの水の量もxL,yL,zLとなる場合はあるか。
あるなら、このようなx,y,zの組み合わせを一つ求めよ。
ないなら無しと書きなさい。

(4)この分配を続けて行くと、ある貯水場の水の量だけが他の2つの貯水場よりも多くなる。どの貯水場がどれだけ多くなるか答えなさい。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(3)
まず初めにMの固有値はL=0.75、それに対応する固有ベクトルは(1 0 -1)^Tというのもある。しかし論旨は全く変わりません。

さて任意の初期値x、y、zから始めると、M^nを計算することにより、n日後には
貯水場Aは(x-y+z)/4*(1/2)^n+(2x-2z)/4*(3/4)^n+(x+y+z)/4
貯水場Bは(-2x+2y-2z)/4*(1/2)^n+(2x+2y+2z)/4
貯水場Cは(x-y+z)/4*(1/2)^n+(-2x+2z)/4*(3/4)^n+(x+y+z)/4
になっていることが分ります。貯水場Bにある量は貯水場A、Cにある量の2倍にどんどん近づいていきます。

回答No.1

f272

(1)
3/4__1/8__0
1/4__3/4__1/4
0____1/8__3/4
という3x3の行列Mを考えるとx=(4 8 8)^TとしてMxを計算する。
A=4、B=9、C=7
(2)
M^2 xを計算するとA=33/8、B=19/2、C=51/8
(3)
Mの固有値と固有ベクトルを求めると、固有値は1/2、1が求まり、それに対応する固有ベクトルは(1 -2 1)^T、(1 2 1)^Tが求まる。
貯水場の水の量を表すのだから負の値は不適当で(1 2 1)^Tを採用する。このようなx,y,zの組み合わせは、定数倍であればどれでもよいので、合計がもともとの20になるように5倍してx=5、y=10、z=5
(4)
貯水場Bが最終的には10になって、A、Cよりも5だけ多い。

難易度としては大学1年生の教養課程の線形代数の練習問題レベルです。

補足

(4)について質問です。

4/22の貯水量が(3)で求めたものでない場合ではどうなるのでしょうか？
(自分は(3)と(4)が繋がった問題ではないって考えてました)

その場合も、貯水場BがA,Cの2倍の量になるのでしょうか？