整数の問題

質問

エ、オが整数でかつ２個の分数は既約分数でなくて良いとの条件から等式を満たすエとオを、エ≧３、オ≧６としてエ=12まで場合分けをして条件を満たす整数を探して解いた結果、(エ, オ)= (3,15)(4,10)(7,7)(12,6)と求めています。もっとうまい方法はないですか。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

よくよく考えれば、式の変形だけで解けますね。
２／エ＋５／オ＝１を通分すれば、
（2×オ＋5×エ）／エ×オ＝1
2×オ+5×エ＝エ×オ
オ=(5×エ)/(エ−2)=5+10/(エ-2）
エが3以上の整数でオも整数となるのは、
（エ,オ）=(3,15)(4,10)(7,7)(12,6)
このうちエ=オ=7は題意に反する。

お礼

ありがとうございます😊なるほどそうですね。

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回答No.4

staratras

2/エ＋5/オ＝１　より
エが3以上、オが6以上の整数であることは明らかだから
エ=2+カ、オ=5+キ　とおくと（カ、キは1以上の整数）
2/(2+カ)＋5/(5+キ)＝１
2/(2+カ)＝1-5/(5+キ)=((5+キ)-5)/(5+キ）＝キ/(5+キ)

等しい分数の分母と分子を交換したもの同士（逆数）も等しいから
(2+カ)/2＝(5+キ)/キ

1+（カ/2）＝(5/キ)+1
カ/2＝5/キ
カ×キ＝10

積が10となる2つの整数は、１と１０，２と５の組み合わせしかないから
カ=1のときキ＝10　　（エ=３，オ=１５）
カ=2のときキ＝5　　　（エ=4，オ=１０）
カ=5のときキ＝2　　（エ=７，オ=７）エ＝オ　なので問題の条件に反する
カ=10のときキ＝1　　（エ=１２，オ=６）

回答No.3

maskoto

先の回答に書いた通り
え
は、5の倍数ではなくて
え＝7、12、17…です
よろしいですか

そして、え＝12のとき
2/え＝2/12＝1/6で、
お＝6、5/お＝5/6
ですよね

さらに
え
を大きくすると、
分子は2のままで、分母だけが大きくなるから
2/えは先程の2/12＝1/6より小さくなる
→連動して、
5/お、
は大きくならないといけない
分子5が一定で、
5/お
が大きくなるためには
分母が小さくならないといけない
→でも
お≧6に反する

まとめると、
え
が大きくなるほど、
お
は、小さくならないといけない
と言うのと
ぉ≧6
を合わせて、
え
の上限が分かるわけです

お、
は5の倍数である
という方から
え
を決める時も
同様に、お、の上限が決まります

回答No.2

gamma1854

2/x + 5/y = 1 とすると、分母を払い整理すると、
(x - 2)(y - 5) = 10
となり、(x-2), (y-5) の組は以下がすべてです。
(±1, ±10), (±2, ±5), (±5, ±2), (±10, ±1), (いずれも複号は同順)
これから書いてある(x, y) の組が すべて求められます。

お礼

ありがとうございます。この式からx = 3, 4, 7, 12と分かります。等式を変形すると5𝑥+2𝓎=𝑥𝓎, ここから(x-2)(y-5)= 10 までどう変形しますか。

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回答No.1

maskoto

等式を変形すると
5×え＝お×(え-2)
ですので、
模範解答の、え、おの条件に
お、が5の倍数
または、
え＝7、12、17…
と言うのを加えれば、調べるべき数が絞れそうです

お礼

エが5,10のとき与式でオは整数にならないので５の倍数は該当しないと判断しています。４組のペアだけが条件を満足する整数と結論していいのかどうかわかりません。

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