解を求めたいのですが・・・

質問

Maxwell方程式と物質方程式から、均質な物体では
∇^２Ｅ－（εμ／ｃ^２）（∂^２Ｅ／∂ｔ＾２）＝０
∇^２Ｈ－（εμ／ｃ^２）（∂^２Ｈ／∂ｔ＾２）＝０
の波動方程式が得られますが、ところでこの解はどうすれば求められますか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

任意の境界条件に対して解析的な解を求めるのは不可能です．
もっとも単純な無限に広い空間の場合は，
電磁波まで触れている電磁気学のテキストならたいてい載っていますよ．

お礼

お礼遅れました。早速の回答ありがとうございます。
電磁気の勉強をやり直してみます。

回答No.2

noname#2380

お初です。
siegmund氏の言われるとおりかと思います。
以下は蛇足説明です。
∇^２Ｅ－（εμ／ｃ^２）（∂^２Ｅ／∂ｔ＾２）＝０ 　　(1)
∇^２Ｈ－（εμ／ｃ^２）（∂^２Ｈ／∂ｔ＾２）＝０ 　　(2)
境界条件の指定されていない、自由空間の平面波の場合、通常教科書に書かれている方法は、
E,H,k,rは、3次元ベクトルとします。
E(x,y,z)=(Ex,Ey,Ez):電場
E0:電場の振幅で、時間、座標に依存しないベクトル
H(x,y,z)=(Hx,Hy,Hz):磁場
k=(kx,ky,kz)：波数ベクトルで、時間、座標に依存しない定数。
｜ｋ｜=2*π/λ
λ：波長
r=(x,y,x):位置ベクトル
「・」はベクトルの内積を意味します。
ω=2*π*f：角周波数、f:周波数
j:虚数単位
方法(1)　天下り的に
E=E0*exp(j*（k・r-ω*t)）
と平面波で与えられるものとして、(1)式に代入して、kとωがある関係式を導出し、
E0≠0　　　ここでの0は、0ベクトルの意味です。
となる解が存在することを示した後で、(1)、(2)の波動方程式を導く前のMaxwell方程式に電場Eを代入し、Hを求めるというやり方。
（
∇*E=4*π*ρ=0 　　(3)
∇*H=0　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)
∇×E=4*π*j+(∂/∂t)*H=(∂/∂t)*H　　　 (5)
∇×H=-(∂/∂t)*D　　　　　　　　　　　　(6)
求まった、電場の式を(5)式に代入してHを求める。
）

方法(2)　これまた、同様に天下り的に

E=E0*(g(k・r-ω*t)＋g(k/r+ω*t))　　　　　(7)

と与えられるものとして、(1)の波動方程式に代入して(1)式を満たすことを示した後、方法(1)と同様にHを求めるやり方。

(2)のやり方は、算数の波動の偏微分方程式の本とかでよく見かけたような気がします。

ほんの少し、進んだ電磁気学の教科書だと
方法(3)
ベクトルポテンシャル:A(x,y,z)、スカラーポテンシャルφ(x,y,z)を導入して、
これらのポテンシャルに対する偏微分方程式をMaxwell方程式より求め、これらをフーリエ変換で求める方法（この方法でも結局のところ平面波で展開しているだけとなり、(1)の求めた結果を足し算した形となるだけだと思いますが。）。
H=∇×A　　　　　　　　　　(8)
E=-∇*φ+(∂/∂t)A　　　　　(9)
(8)式は(4)式を満たすことから、導出？
(9)式は(8)式を(5)式に代入して導出？
Maxwell方程式で、ローレンツ条件を課せば、確か、A,φに対して波動方程式が導出されたかと思います。
スカラーポテンシャルを0とすると、（考えている空間に電荷、電流が分布してない）
∇・∇（A）-（εμ／ｃ^２）（∂^２A／∂ｔ＾２）＝０

A(x,y,z)=

∫∫∫a(kx,ky,kz,ω)*exp(j*(k・r-ω＊ｔ))dkx dky dkz dω/(2*π）^4

として求めるやり方。ベクトルaは、境界条件から決定。

電荷、電流の分布のある場合、Green関数を求めて一般解を求める方法があります。
この方法も取得しておくと、量子力学を勉強するとき御利益があるかも？

(4)その他
境界条件が、球面で規定されるなら、ラプラシアンをカーデアン座標(x,y,z)ではなく、球面座標（r,φ,θ）で表現し、解を求め、その解の重ね合わせで一般解を表現し、その係数を境界条件から決定する。

境界条件が、円筒面で規定されるなら、ラプラシアンをカーデアン座標(x,y,z)ではなく、円筒座標（ρ,φ,ｚ）で表現し、解を求め、その解の重ね合わせで一般解を表現し、その係数を境界条件から決定する。

というやり方があるかと思います。ここで、球面関数とベッセル関数を勉強しておくと、量子力学のSchrodinger方程式を解くときに御利益があるかも？

誤記、誤解がありましたらゴメンなさい。

お礼

いろいろな方法を紹介してくださって、ありがとうございます。
今後の学習に、たいへん参考になりました。
実は波動に関しての問題だったのですが、量子力学にも使えるのですね・・・
勉強します。