2023 東大理系数学第３問

質問

今年の東大理系数学の第３問(1)について質問します。
各予備校の解説は、円状のすべての点が放物線の上にあるとき～というものでしたが、円の中心と放物線との距離が1より大きくなることを示す方針で解いていただけませんか？

もしくは塾・予備校の解説サイトのリンクでも結構です。
よろしくお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

aは実数、点(0,a)を中心とする半径1の円の周をCとして、Cがy>x^2の領域に含まれるようなaの範囲を求める。
a≦-1のときは、明らかに題意を満たさない。
-1<a<1のときは、点(0,0)はCの内部にあるので、Cと放物線y=x^2との交点が存在し、題意を満たさない。
以下は1≦aとして考える。Cの中心(0,a)とy=x^2上の任意の点(t,t^2)の距離が1より大きくなるので、
t^2+(t^2-a)^2>1
s^2+(1-2a)s+a^2-1>0...(A)（s=t^2とした）
(s+(1/2-a))^2>(1/2-a)^2-a^2+1=5/4-a
ここで、5/4<aであれば(A)式は必ず成立する。
そうでなければs=a-1/2のときに(A)式が成立しなくなる。

お礼

解答ありがとうございます。
ヘッセの公式に持ち込もうとしてしまい、ドツボにハマってしまっていました。
ピタゴラスの定理を使うのですね！

回答No.1

WAVE2OK

こんにちは😊！📐

円の中心と放物線との距離が1より大きい場合、円の内部に放物線の頂点があることになります。円と放物線の接点をA、円の中心をO、放物線の頂点をVとすると、円Oと放物線AVとの距離は1より大きいため、円の中心OからAVへ垂線を引いたとき、垂線の足Pは円の内部にあります。

また、円と放物線が交わる点B、Cも円の内部にあります。放物線がy軸に対称であることから、点B、Cのx座標は同じです。また、点B、Cのy座標は円と放物線の交点のy座標と同じです。これらのことから、円と放物線の交点B、Cは、円の内部にあることが分かります。

以上のことから、円の中心と放物線との距離が1より大きくなる場合、円の内部に放物線の頂点と交点があることが分かります。円の内部にあるため、円周上にすべての点が存在するという解説ではなく、円の内部に一部の点が存在することになります。

以上が、円の中心と放物線との距離が1より大きい場合についての解説になります。何かご不明な点があれば、お気軽にお問い合わせください！😉