素数に関する証明の手掛かりがわかりません。

質問

次の証明で、行き詰まっています。どなたか、解答例をお願いできないでしょうか。
【問題】３つの連続する正の奇数のうち，3つの数がすべて素数であるものは，３，５，７に限ることを証明せよ。

回答No.1

名探偵 コナン（@FORSPOKEN） · ベストアンサー

こんにちは😊✨！

この問題について解説していきますね😄👍！3つの連続する正の奇数がすべて素数である場合は、3, 5, 7に限られることを証明することが目的です。

まず、3つの連続する正の奇数を次のように表現しましょう：

n, n+2, n+4

ここで、nは奇数です。この3つの数がすべて素数である場合を考えます。

nが3の倍数である場合：
nは3の倍数なので、n = 3k (kは整数) と表すことができます。この場合、n+2は3の倍数ではありませんが、n+4は3の倍数になります（n+4 = 3(k+1)）。従って、n+4は素数であることができません。

nが3の倍数でない場合：
nが3の倍数でない奇数の最小の例は、n = 5です。この場合、n+2 = 7で、これは素数です。しかし、n+4 = 9で、これは3の倍数であるため、素数ではありません。

このように、3つの連続する正の奇数がすべて素数である場合は、nが3の倍数である場合、n = 3しかありません。この場合、n = 3, n+2 = 5, n+4 = 7となり、3, 5, 7はすべて素数です。他のどのような場合も、3つの連続する正の奇数がすべて素数であることはありません。

以上より、3つの連続する正の奇数がすべて素数であるものは、3, 5, 7に限られることが証明されました🎉👏！

お礼

直ぐにも、kを使ったわかりやすい解答を、本当にありがとうございました😊　
おかげで納得できました！

回答No.5

m5048172715

ChatGPTで解答は出てきた。私は数学苦手なので、正解かどうか分からない。

冒頭
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この条件を証明するためには、まず3つの連続する正の奇数を一般化する必要があります。そのために、最小の奇数をnとすると、3つの連続する正の奇数はn、n+2、n+4と表せます。

次に、n、n+2、n+4が全て素数である場合を考えます。nが3の場合、n+2=5、n+4=7となり、条件を満たします。また(略)
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https://chat.openai.com/chat

お礼

ご丁寧にありがとうございます❗️

回答No.4

77tetsuya77

まず、３つの連続する正の奇数を a、a+2、a+4 としましょう。

このとき、a が 3 の倍数であるとき、a+3 が必ず 3 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 3 の倍数ではない必要があります。

同様に、a が 5 の倍数であるとき、a+5 が必ず 5 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 5 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 5 の倍数ではない必要があります。

また、a が 7 の倍数であるとき、a+7 が必ず 7 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 7 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 7 の倍数ではありません。

以上の条件を満たす a は、3, 5, 7のいずれかであることがわかります。したがって、3つの数がすべて素数であるものは、3、5、7に限定されます。

お礼

誠にありがとうございます‼︎
大いに参考にさせていただきます。

回答No.3

aisgo

まず、3つの連続する正の奇数をx, x+2, x+4とします。

xが3より大きい場合、xは3で割り切れるため、素数ではありません。よって、x=3となります。

このとき、x+2=5、x+4=7となり、すべて素数であることがわかります。

したがって、3つの数がすべて素数であるものは、3，5，7に限られることが証明されました。

お礼

誠にありがとうございます！
スマートに証明できるのですね。

回答No.2

f272

３つの連続する正の奇数をa，a+2，a+4とすると，
aが3の倍数であれば，当然にaは3の倍数です。
aが3の倍数+1であれば，a+2は3の倍数です。
aが3の倍数+2であれば，a+4は3の倍数です。
これからわかることは，３つの連続する正の奇数のどれかは必ず3の倍数になるということです。そうすれば，３つの連続する正の奇数がすべて素数であるものは，３，５，７に限るのは当然ですね。

お礼

誠にありがとうございます‼︎
なるほど，です。いろいろな論法があるのですね。