数学の問題です｡至急どなたかお願いします｡

質問

(↑をベクトルとします)
以下の条件を同時に満たすベクトル↑p,↑qについて考える｡
①(↑p・↑q)/(↑p・↑p)は整数 ②{(2↑p)・(2↑q)}/(↑q・↑q)は整数
③↑p・↑q≠0
④|↑p|≠0,|↑q|≠0
ただし,↑p・↑qは2つのベクトル↑p,↑qの内積を表す｡次の問いに答えよ｡
(１) ↑p,↑qのなす角をθ(0≦θ≦π)とする｡θの値をすべて求めよ｡
(２) (1)の各θに対して,2つのベクトル↑p,↑qの大きさの比をすべて求めよ｡
(３) xy平面上に,原点を始点とするベクトル↑p=(1,0)および↑q=(q1,q2)(q2≧0)を考える｡↑p,↑qが上記の条件①から④を同時に満たすとき,ベクトル↑qをxy平面上にすべて図示せよ｡

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

細かい所は自分で計算して下さい。

以下、↑pをvp、↑qを vqと書く。

|vq| = a|vp|, cos(θ) = b とおく。a>0, -1≦b≦1, b≠0。（b≠0なのは vp・vq≠0 なので）
K= (vp・vq) / (vp・vp) , L= (2vp・2vq) / (vq・vq) とおくと、K= ab, L= 4b/a。K, Lが整数となる事が必要十分条件となる。

この時、KL = Mとおくと、Mも整数。M = 4b^2。0<b^2≦1である故、Mは1, 2, 3, 4のどれかしか取り得ない。
さらに、L=4b/a = M/K。この値も整数であったから、Kは（正負どちらの値も取り得るが）Mの約数である。このM, Kの値に応じて、a, bの値も求まる。

回答No.2

tmppassenger

続き...

(1) bの取り得る値を全て求めれば、それに応じて取り得るθの値も求まる。
(2) |vq| = a|vp| とおいたので、aの取り得る値を全て求めればよい。
(3) q[1] = a * cos(θ), q[2] = a* sin(θ)である。