統計学の問題の意味

質問

いまテスト勉強しているのですがわかる方がいらしたら回答してくれせんか？自分では問題の文章では　独立でかつ同一に分布の辺がよく理解できません。

５つの選択肢がある１００題の選択問題がある。正解はひとつで、正解するごとに１ポイント、間違えると０.２５ポイント失う。６０人の受験者がいる。それぞれの受験者がそれぞれの問題に正解する確率は、独立で且つ同一に分布しているとする。９０％信頼区間を求めよ。

という問題です。

回答No.1

betagamma · ベストアンサー

「独立で」二つ意味があります。
50題目の問題に正解すると、51題目の問題に正解する確率が高くなるようなことはない。
Aさんが3題目の問題に正解すると、Bさんも3題目の問題に正解する確率が高くなるようなことはない。

「同一」これも二つ意味があります。
1題目の問題に正解する確率＝2題目の問題に正解する確率＝...＝100題目の問題に正解する確率
一人目の人が問題に正解する確率＝二人目の人が問題に正解する確率＝...＝100人目の人が問題に正解する確率

ということです。早い話が、
一つ一つの問題の間に関連性はない（問題の独立性）
問題の難しさはどれも均等だと思う（問題の同一性）
受験者と受験者の間に関連性がない（受験者の独立性）
＝たとえば、現実世界では、昨日集まって徹夜で勉強していたA,B,C,Dのようなグループがあったとすると、この四人は知識が似通っているので、Aが30題目に正解したとき残りのB,C,Dが問題に正解する確率も高くなるようなことが考えられる。しかし、ここではそういうことは考えない
受験者はみな均質な能力をもつ（受験者の同一性）
＝たとえば、現実世界では、さきほどのA,B,C,Dの徹夜勉強組は、何の勉強もしなかった他の人より正答率がいいと考えられるが、ここではそういうことは考えない

ということです。

回答No.2

noname#8027

問題の独立性についても例をあげてみますと、
（１）で二次方程式の頂点の座標を求める
（２）で頂点から直線までの距離を求める
というような問題を作ると、（１）で正解した人でないと（２）はまず正解しません。このような場合は、独立していません。
他の問題の正答率が、別の問題の正答率に影響しないことが、「独立している」場合。と考えます。
また、同一は、#1の方が答えているとおり、どの問題も正解する確率が同一という事を意味します。現実上、そのような問題を作る事は、不可能ですが、そういう仮定をしないと、複雑になりすぎて、テスト問題にならないのです。

また、統計学の考え方では、正解する確率が同一であっても、確率通りに結果が出ることはありません。サイコロを正確に作って、どの面も均等に出るサイコロが出たとしても、１００回ふったら、１／６ずつになるとは限らないという事を想像してみてください。もしかしたら、まぐれで、１が３０回ぐらい出ることもあるでしょう。でも、ほとんどの場合は、１６回前後におさまる。この「ほとんど」がどの程度か？　９０％ぐらいは○○回～△△回ぐらいの間におさまる、ってのが９０％信頼区間です。

補足

独立と同一についてのわかりやすい説明ありがとうございます。　実際　９０％信頼区間を計算する方法はどうやればよいのでしょうか？　　　アドバイスお願いいたします。