y´´+y´-2y=e^x+xの微分方程式
答えに自信が持てません、アドバイスをお願いします。
y´´+y´-2y=e^x+xの微分方程式ですが、
これを２階非同次線形ay´´ + by´ + c = r(x)の解法で解いたところ、
特性方程式より
t^2+t-2=0 , (t+2)(t-1)=0 ,t=-2,1 (2個の実数解)
一般解はC1e^(-2x)+C2e^(x)
2個の実数解の時、特異解は ay´´ + by´ + c = r(x) , t=α,βとして
1/｛a(α-β)｝{e^(αx)∫e^(-αx)r(x)dx - e^(βx)∫e^(-βx)r(x)dx}なので、α=-2,β=1として代入し、
-1/3{e^(-2x)∫e^(2x)(e^x+x)dx - e^(x)∫e^(-x)(e^x+x)dx}
=-1/3[e^(-2x)｛(1/3)e^(3x)+(1/4)e^(2x)・(2x-1)} - e^(x){x+e^(-x)・(-x-1)}]
=-1/3[(1/3)e^x+(1/4)(2x-1) - {xe^x-x-1}]
=-1/3[(1/3)e^x+(2x/4)-1/4 - xe^x+x+1]
=-1/3[(1/3)e^x+(3x/2)+3/4-xe^x]
=-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x]
∴C1e^(-2x)+C2e^(x)-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x]
でいかがでしょうか？
お礼
> e^y = u*x を原式に代入すると、 > u'/u^2 = x. > となります。 あちゃーッ！ そうですね。すばやい回答まことにありがとうございました。