数学の問題が解けません

質問

次の4つの数を工夫して比べよ。
(1/2)(1/2)²
(1/3)(2/3)²
(1/4)(3/4)²
(1/5)(4/5)²

お願いします!

回答No.4

staratras

対数を利用した比較です。与えられた４数はすべて正なので２を底とする対数をとって(底の表記は省略）順番にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。

A=-3log2=-3,B=2log2-3log3=2-3log3,
C=2log3-3log4=2log3-6,D=2log4-3log5=4-3log5
B-C=8-5log3=log2^8-log5^3=log256-log243>0 ∴B>C
C-D=2log3+3log5-10=log3^2+log5^3-log2^10
=log9*125-log1024=log1125-log1024>0　∴C>D
D-A=7-3log5=log2^7^log5^3=log128-log125>0　　∴D>A
以上まとめて　A<D<C<B

答え(1/2)(1/2)² ＜ (1/5)(4/5)²＜(1/4)(3/4)²＜ (1/3)(2/3)²

回答No.3

staratras

別解です。関数f(x)=(x-1)^2/x^3 を考えると、大小比較を求められている4数はそれぞれ、f(2)からf(5)までの値です。

f’(x)=(x^2-4x+3)/x^4 =−(x-1)(x-3)/x^4 　だから、
1≦x<3のときf'(x)＞0　
f’(3)=0
3<x　のときf’(x)＜0
したがって、f(2)＜f(3) かつf(3)＞f(4)＞f(5)　です。…（１）
ここでf(2)=1/2^3=1/8=0.125
f(5)=16/125=0.128だから(2)<f(5)　です。…（２）
（１）（２）からf(2)<f(5)<f(4)<f(3)
すなわち(1/2)(1/2)² ＜ (1/5)(4/5)²＜(1/4)(3/4)²＜ (1/3)(2/3)²

回答No.2

nihonsumire

数の大小については、比較する数によって考え方があります。お尋ねの数は、分数なので分母を揃えないと比べられません。
たとえば、1/3と2/5なら通分して、5/15と6/15とすると、15に分けたうち5と6の分子の大小を比べることで判ります。
お尋ねの数は()^2になってるので、()内の分数の大小を比べると良いです。

回答No.1

aokii

(1/2)(1/2)²=(30/60)(30/60)²=(30*30*30)/60³=(27000)/60³
(1/3)(2/3)²=(20/60)(40/60)²=(20*40*40)/60³=(64000)/60³
(1/4)(3/4)²=(15/60)(45/60)²=(15*45*45)/60³=(30373)/60³
(1/5)(4/5)²=(12/60)(48/60)²=(12*48*48)/60³=(27648)/60³