積の演算子についてのブラとケットの算法について教えてください

質問

ハミルトニアンＨと任意の演算子Ａの積をＨＡとします。Ｈの固有関数を|n>、
|n'>としてそれぞれの固有値をＥn、Ｅn'とすると Ｈ|n>＝Ｅn|n>、
Ｈ|n'>＝En'|n'>となります。
今、ＨＡを|n>と|n'>ではさんだ場合の算法についてですが、一応次のように
やりました。これでいいのでしょうか？
<n'|ＨＡ｜n>＝＜n'|Ｈ|n'＞＜n'|Å|ｎ＞＝En'<n'|Ｈ|n'><n'|Å|n>
＝En'<n'|ＨＡ|n>
ものの本によればＨの行列要素とＡの行列要素の積で書かれると書いてありま
すが。。。上の計算では都合よく真ん中を|n'><n'|としましたが本当にこれで
いいのでしょうか？ひとつよろしくお願いします。

回答No.2

ryumu · ベストアンサー

どうも。補足を読みました。
＞ここでの|i>は|n>と|n'>を含むＨのすべての固有ケットをとればいいのでしょうか？

そうです。すべての和を取るのです。
一般に、波動関数を｜φ＞とおくと、Ｈの固有ケットの組を｜ｉ＞などと書くと、

　＜φ｜Ｈ｜φ＞＝Σ＜φ｜ｊ＞＜ｊ｜Ｈ｜ｉ＞＜ｉ｜φ＞　　（Σは、すべてのｊ、ｉについての和をとる）

となります。
＜ｊ｜Ｈ｜ｉ＞は、例えば、ｉ、ｊがそれぞれ１、２、３の値を取るとすると、

　　＜1｜Ｈ｜1＞　　＜1｜Ｈ｜2＞　　＜1｜Ｈ｜3＞　
　　＜2｜Ｈ｜1＞　　＜2｜Ｈ｜2＞　　＜2｜Ｈ｜3＞　
　　＜3｜Ｈ｜1＞　　＜3｜Ｈ｜2＞　　＜3｜Ｈ｜3＞　

を一般的に表すことになるので、行列要素となります。
ｉ＝ｊの時、すなわち＜ｊ｜Ｈ｜ｊ＞は、その行列の対角要素になります。

お礼

非常によく分かりました。ありがとうございました。これで気分がスッキリしました(^^)。
ブラとケットの演算で今更ながらＤｉｒａｃの本などを紐解いてみたりしたのですが、どうもよく飲み込めなくて。。。何かこの辺りの話をわかりやすく書かれているテキストをご存知でしたら、教えていただけると嬉しいです。あつかましいお願いで恐縮ですが、お時間のあるときにでも一つよろしくお願いします。

回答No.3

ryumu

補足読みました。

私は物理のテキストに関しては、岩波書店のファイマン物理シリーズをお薦めしてます。
ブラケットに関しては、このシリーズの量子力学（砂川重信訳）の前半（～５章あたりまで）に述べられているので、一度読んでみられてはいかかでしょうか。

また私はNMRを用いた研究をしてるので、NMRのテキストで量子力学を勉強することが多いのですが、荒田洋治著「NMRの書」（丸善）の第２章「量子力学とスピン」の一読もお勧めします。

お礼

ありがとうございました。早速ファインマン物理シリーズを
あたってみます(^^)。

回答No.1

ryumu

ちょっと違います＾＾；

＞ 上の計算では都合よく真ん中を|n'><n'|としましたが・・・

これはしても良いんですけど、|n><n|をはずす理由も無いので、これも考慮する必要があります。

一般的にＨの固有ケットを｜i＞と置くと（この場合、｜ｎ＞と｜ｎ’＞の二種類だけということにしてるんですよね）、

　　<n'|ＨＡ｜n>＝Σ＜n'|Ｈ|i＞＜i|Ａ|ｎ＞＝En’＜n'｜Ａ｜ｎ＞

となります（Σはiのすべてについての和）。

ここで、<n'|n>＝0であり、＜n'|Ｈ|i＞は i＝ｎ’の時だけ値（En'）を持つことを利用してます。

ところで、Santa123さんの書かれている式のところで、
＞＞・・＝＜n'|Ｈ|n'＞＜n'|Å|ｎ＞＝En'<n'|Ｈ|n'><n'|Å|n>

は、おかしいですよね？　＜n'|Ｈ|n'＞＝En'　なんですから。

補足

早速のレスありがとうござました。
ところで
>これはしても良いんですけど、|n><n|をはずす理由も無いので、これも考慮する
>必要があります。
>一般的にＨの固有ケットを｜i＞と置くと（この場合、｜ｎ＞と｜ｎ’＞の二種類
>だけということにしてるんですよね）、
>　　<n'|ＨＡ｜n>＝Σ＜n'|Ｈ|i＞＜i|Ａ|ｎ＞＝En’＜n'｜Ａ｜ｎ＞
>となります（Σはiのすべてについての和）。

ここでの|i>は|n>と|n'>を含むＨのすべての固有ケットをとればいいの
でしょうか？

>ところで、Santa123さんの書かれている式のところで、
>＞＞・・＝＜n'|Ｈ|n'＞＜n'|Å|ｎ＞＝En'<n'|Ｈ|n'><n'|Å|n>
>は、おかしいですよね？　＜n'|Ｈ|n'＞＝En'　なんですから

ご指摘のとおりです(^^);;