三角比 余弦定理

質問

△ABCにおいて、残りのすべての角と辺を求めよ。

ただし、sin75°＝√6＋√2　/　4　　とする。

(1) a=√2, c=1+√3, ∠B=45°

　b=2　は回答できました。

　∠A=30°, ∠C=105°が解けません。

解りやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

takaharu8

余弦定理より、
　　　　　　　　　a²=b²+c²-2bc・cosA　移項して、
　　　　　　　 2bc・cosA=b²+c²-a²
　　　　　　　　 ∴cosA={b²+c²-a²}/2bc これにa=√2、b=2,c=1+√3を代入、
　　　　　　　　　　 cosA={2²+（1+√3）²-（√2）²}/2*2*（1 +√3）
　　 =（4+1+3+2√3-2）/4（1+√3）
=（6+2√3）/4（1+√3）
=（3+√3）/2（√3+1）　分母を有理化して（この場合、分子、分母にそれぞれ√3-1をかけます。分母が2*（√3+1）（√3-1）になります。）、
=（3+√3）・（√3-1）/2*2
=2√3/4=√3/2
ゆえに∠A=30° ∠C＝180°-∠A-∠B=180°-30°-45°＝105°
余弦定理の成り立ち方は、だいぶ忘れましたので、今説明できません。すみません。おそらく、点Aから対辺に垂線をおろしその交点をGとします。相似の3角形がいくつかできますが、それを利用するのだと思います。

回答No.1

ferien

＞△ABCにおいて、残りのすべての角と辺を求めよ。
＞ただし、sin75°＝√6＋√2　/　4　　とする。

＞(1) a=√2, c=1+√3, ∠B=45°

＞　b=2　は回答できました。
正弦定理より、ｂ/sinB＝ａ/sinAだから、
2/sin45°＝√2/sinA
sinA＝√2・(1/√2)・(1/2)＝1/2
0°＜A＜180°だから、∠A＝30°，150°
∠B＝45°だから、∠A＝30°

0°＜C＜180°だから、∠C＝180°－（30°＋45°）＝105°