三角方程式の問題です

質問

三角方程式の問題です

kは定数で、0<θ<πの範囲において、方程式
　　cos2θ=ksinθ-2
を満たすθが2個あるとき、kのとりうる値の範囲を求めよ

どうしても解けなくて困っています
詳しい解法を教えてください！
よろしくお願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

1-2sin^2(θ)=ksinθ-2

sinθ=xとおくと
kx=3-2x^2 …(A)

0<θ<πなので 0<x≦1
この範囲のxに対してθが２個存在するxの範囲は　0<x<1…(B)

(B)の範囲で（A)から
f(x)=2x^2+kx-3=0　…（C)
下に凸の放物線で、判別式D=k^2+24>0なので２実解を持つが２実解の積=-3/2<0はので
１つが正、１つが負なので(C)が（B)の範囲に解を持つための条件は
f(1)=k-1>0
これを解いてkの範囲
k>1　　…（答え）
が求まる。

お礼

>>２実解の積=-3/2<0はので １つが正、１つが負…
ここ、すごく参考になりました！
丁寧な解説ありがとうございます

回答No.3

noname#117170

グラフ書いた？グラフ書くと分かりやすい。
まずcos2Θのグラフを書いて次にsinΘのグラフを点線で表して
y軸方向へ-2ずらす。するとあとはsinΘの振幅を変化させて考えると
ちょうどΘ=π/2のときcos2ΘとsinΘ-2のグラフは重解に交点をもって
それ以上の振幅を任意に大きく(すなわちk>1で)すればcos2θとksinθ-2
の交点は2つ持つ。逆にk<1ではグラフから交点をもたないので
答えはk>1
アドバイス：グラフ化して考えると計算しなくても解ける場合があるのでグラフ化する
というのも頭に入れておくこと。

回答No.1

Anti-Giants

sin(θ) = x
cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ) = 1-2x^2
ksin(θ) - 2 = kx - 2

(#)2x^2 + kx - 3 = 0
k^2 + 24 > 0 ⇒ 異なる2つの解をもつ

x = sin(θ), 0 < θ < π ⇒ 0 < x ≦ 1

0 < x ≦ 1 の範囲で解が0こ ⇒ 対応するθはなし
0 < x ≦ 1 の範囲で解が1こ ⇒ 対応するθは1個または2個
0 < x ≦ 1 の範囲で解が2こ ⇒ 対応するθは3個または4個

対応するθが2個となるのは、0 < x < 1 の範囲で解を一つだけもつとき。